Як транспонувати матрицю: 11 кроків

Якщо ви навчитеся транспонувати матриці, то краще зрозумієте їх структуру. Можливо, ви вже знаєте про квадратних матрицях і про їх симетрії, що допоможе вам освоїти транспонування. Крім іншого, транспонування допомагає переводити вектори в матричну форму і знаходити векторні твори. При роботі з комплексними матрицями ермітовим-зв`язані (сполученої-транспонований) матриці допомагають вирішити найрізноманітніші завдання.

кроки

Частина 1 з 3:

транспонування матриці

1. Візьміть будь-яку матрицю. Можна транспонувати будь-яку матрицю, незалежно від кількості рядків і стовпців. Найбільш часто доводиться транспонувати квадратні матриці, які мають однакову кількість рядків і стовпців, тому для простоти розглянемо як приклад таку матрицю:

матриця A =
123
456
789

2. Уявіть перший рядок прямий матриці у вигляді першого стовпчика транспонованою матриці. Просто запишіть перший рядок у вигляді стовпчика:

транспонована матриця = A

перший стовпець матриці A:
1
2
3

3. Виконайте те ж саме з іншими рядками. Другий рядок вихідної матриці стане другим стовпцем транспонованою матриці. Переведіть всі рядки в стовпці:

A =
147
258
369

4. Спробуйте транспонувати неквадратні матрицю. Точно таким же чином можна транспонувати будь-яку прямокутну матрицю. Просто запишіть перший рядок у вигляді першого стовпчика, другий рядок - у вигляді другого шпальти, і так далі. У наведеному нижче прикладі кожен рядок вихідної матриці позначена своїм кольором, щоб було зрозуміліше, як вона перетвориться при транспонировании:

матриця Z =
4721
3986

матриця Z =
43
79
28
16

5. Висловимо транспонування у вигляді математичного запису. Хоча ідея транспонування дуже проста, краще все ж записати її у вигляді суворої формули. При матричної записи не потрібні будь-які спеціальні терміни:

Припустимо, дана матриця B, що складається з m x n елементів (m рядків і n стовпців), тоді транспонована матриця B являє собою набір з n x m елементів (n рядків і m стовпців).

Для кожного елемента b_xy (рядок x і стовпець y) Матриці B в матриці B існує еквівалентний йому елемент b_yx (рядок y і стовпець x).

Частина 2 з 3:

властивості транспонування

1. (M = M. Після подвійного транспонування виходить вихідна матриця. Це досить очевидно, так як при повторному транспонировании ви знову міняєте рядки і стовпці, в результаті чого виходить первісна матриця.

2. Дзеркально відобразіть матрицю щодо головної діагоналі. Квадратні матриці можна "перевертати" щодо головної діагоналі. При цьому елементи уздовж головної діагоналі (від a₁₁ до нижнього правого кута матриці) залишаються на місці, а інші елементи переміщаються по іншу сторону цієї діагоналі і залишаються на тій же відстані від неї.

Якщо вам складно уявити даний метод, візьміть аркуш паперу і намалюйте матрицю 4x4. Потім переставте її бічні елементи відносно головної діагоналі. Простежте при цьому за елементами a₁₄ і a₄₁. При транспонировании вони повинні помінятися місцями, як і інші пари бічних елементів.

3. Транспонується симетричну матрицю. Елементи такої матриці симетричні відносно головної діагоналі. Якщо виконати описану вище операцію і "перевернути" симетричну матрицю, вона не зміниться. Всі елементи поміняються на аналогічні. Фактично, це стандартний спосіб визначити, симетрична чи є та чи інша матриця. Якщо виконується рівність A = A, значить, матриця A симетрична.

Частина 3 з 3:

Ермітовим-сполучена матриця з комплексними елементами

1. Розглянемо комплексну матрицю. Елементи комплексної матриці складаються з дійсної та уявної частини. Таку матрицю також можна транспонувати, хоча в більшості практичних застосувань використовують сполученої-транспонований, або ермітовим-зв`язані матриці.

Нехай дана матриця C =
2+i3-2i
0+i5 + 0i

2. Замінимо елементи комплексно-сполученими числами. При операції комплексного сполучення дійсна частина залишається такою ж, а уявна частина змінює свій знак на зворотний. Проробимо цю операцію з усіма чотирма елементами матриці.

знайдемо комплексно-сполучену матрицю C * =
2-i3 + 2i
0-i5-0i

3. Транспоніруем отриману матрицю. Візьмемо знайдену комплексно-сполучену матрицю і просто транспоніруем її. В результаті у нас вийде сполученої-транспонована (ермітовим-сполучена) матриця.

сполученої-транспонована матриця C =
2-i0-i
3 + 2i5-0i

Поради

У даній статті транспонована матриця щодо матриці А позначається як A. Зустрічається також позначення A `або Ã.
У даній статті ермітовим-сполучена матриця щодо матриці А позначається як A - це загальноприйняте позначення в лінійної алгебри. У квантовій механіці часто використовують позначення A. Іноді ермітовим-сполучену матрицю записують у вигляді A *, проте такого позначення краще уникати, так як воно використовується також для запису комплексно-сполученої матриці.