Як знайти зворотну матрицю 3х3

Як правило, зворотні операції використовуються для спрощення складних виразів алгебри. Наприклад, якщо в задачі присутній операція ділення на дріб, можна замінити її операцією множення на зворотну дріб, щоє зворотною операцією. Більш того, матриці ділити не можна, тому потрібно множити на зворотну матрицю. Обчислювати матрицю, зворотну матриці розміром 3х3, досить утомливо, але потрібно вміти робити це вручну. Також зворотну величину можна знайти за допомогою хорошого графічного калькулятора.

кроки

Метод 1 з 3:

За допомогою приєднаної матриці

1. Перевірте визначник матриці. Спочатку обчисліть визначник матриці. Якщо визначник дорівнює 0, то зворотний матрицю обчислити не можна. Визначник матриці М позначається як det (М).

У разі матриці розміром 3х3 спочатку обов`язково розрахуйте визначник.
Щоб отримати детальну інформацію, прочитайте статтю Як знайти визначник матриці 3х3.

2. Транспонується вихідну матрицю. Транспонування - це заміна рядків на стовпці щодо головної діагоналі матриці, тобто потрібно поміняти місцями елементи (i, j) і (j, i). При цьому елементи головної діагоналі (починається у верхньому лівому кутку і закінчується в нижньому правому куті) не змінюються.

Щоб поміняти рядки на стовпці, запишіть елементи першого рядка в першому стовпці, елементи другого рядка в другому стовпці, а елементи третього рядка в третьому стовпці. Порядок зміни положення елементів показаний на малюнку, на якому відповідні елементи обведені кольоровими гуртками.

3. Знайдіть визначити кожної матриці розміром 2х2. Кожен елемент будь-якої матриці, включаючи транспоновану, пов`язаний з відповідною матрицею 2х2. Щоб знайти матрицю 2х2, яка відповідає певному елементу, закресліть рядок і стовпець, в яких знаходиться даний елемент, тобто потрібно закреслити п`ять елементів вихідної матриці 3х3. Незачеркнутимі залишаться чотири елементи, які є елементами відповідної матриці 2х2.

Наприклад, щоб знайти матрицю 2х2 для елемента, який розташований на перетині другого рядка і першого стовпця, закресліть п`ять елементів, які знаходяться у другому рядку і першому стовпці. Решта чотири елементи є елементами відповідної матриці 2х2.

Знайдіть визначник кожної матриці 2х2. Для цього твір елементів другорядною діагоналі відніміть з твору елементів головної діагоналі (дивіться малюнок).

Детальну інформацію про матрицях 2х2, які відповідають певним елементам матриці 3х3, можна знайти в інтернеті.

4. Створіть матрицю кофакторов. Результати, отримані раніше, запишіть у вигляді нової матриці кофакторов. Для цього знайдений визначник кожної матриці 2х2 напишіть там, де розташовувався відповідний елемент матриці 3х3. Наприклад, якщо розглядається матриця 2х2 для елемента (1,1), її визначник запишіть в позиції (1,1). Потім поміняйте знаки відповідних елементів згідно певною схемою, яка показана на малюнку.

Схема зміни знаків: знак першого елемента першої рядки не меняется- знак другого елементу першого рядка змінюється на протівоположний- знак третього елемента першого рядка не змінюється і так далі через підрядник. Зверніть увагу, що знаки «+» і «-», які показані на схемі (дивіться малюнок), не свідчать про те, що відповідний елемент буде позитивним або негативним. В даному випадку знак «+» говорить про те, що знак елемента не змінюється, а знак «-» свідчить про зміну знака елемента.

Детальну інформацію про матрицях кофакторов можна знайти в інтернеті.

Так ви знайдете приєднану матрицю вихідної матриці. Іноді її називають комплексно-сполученої матрицею. Така матриця позначається як adj (M).

5. Розділіть кожен елемент приєднаної матриці на визначник. Визначник матриці М був обчислений на самому початку, щоб перевірити, що зворотна матриця існує. Тепер розділіть кожен елемент приєднаної матриці на цей визначник. Результат кожної операції ділення запишіть там, де знаходиться відповідний елемент. Так ви знайдете матрицю, зворотну вихідної.

Визначник матриці, яка показана на малюнку, дорівнює 1. Таким чином, тут приєднана матриця є зворотною матрицею (бо при розподілі будь-якого числа на 1 воно не змінюється).

У деяких джерелах операція ділення замінюється операцією множення на 1 / det (М). При цьому кінцевий результат не змінюється.

Метод 2 з 3:

За допомогою елементарних перетворень

1. Одиничну матрицю напишіть поруч з вихідної матрицею. Запишіть вихідну матрицю М, праворуч від неї намалюйте вертикальну риску, а потім праворуч від межі запишіть одиничну матрицю. Вийде матриця з трьома рядками і шістьма стовпцями (велика матриця).

Нагадаємо, що одиничною матрицею є матриця, де елементами головною діагоналі є одиниці, а іншими елементами є нулі. Детальну інформацію про поодинокі матрицях можна знайти в інтернеті.

2. Виконайте елементарні перетворення, щоб з вихідної матриці отримати одиничну. Наша мета полягає в тому, щоб створити одиничну матрицю на лівій половині великий матриці. Елементарні перетворення, що виконуються на лівій половині великий матриці, потрібно виконувати і на її правій половині (нагадаємо, що правою половиною великий матриці є одинична матриця).

Пам`ятайте, що елементарні перетворення включають в себе операції скалярного множення, а також додавання і віднімання рядків, щоб відокремити певні елементи. Детальну інформацію про елементарні перетворення матриць можна знайти в інтернеті.

3. Продовжуйте перетворювати велику матрицю до тих пір, поки її ліва половина (тобто вихідна матриця) чи не перетвориться в одиничну матрицю. Нагадаємо, що одиничною матрицею є матриця, де елементами головною діагоналі є одиниці, а іншими елементами є нулі. Коли вихідна матриця стане одиничною, на правій половині великий матриці ви отримаєте матрицю, зворотну вихідної.

4. Запишіть зворотну матрицю. Запишіть елементи, розташовані на правій половині великий матриці, у вигляді окремої матриці, яка є зворотною матрицею.

Метод 3 з 3:

За допомогою калькулятора

1. Виберіть калькулятор, який працює з матрицями. За допомогою простих калькуляторів можна знайти зворотну матрицю, але це можна зробити на хорошому графічному калькуляторі, такому як Texas Instruments TI-83 або TI-86.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 11

2. Введіть вихідну матрицю в пам`ять калькулятора. Для цього натисніть кнопку Matrix (Матриця), якщо вона є. У разі калькулятора Texas Instruments, можливо, знадобиться натиснути кнопки 2 і Matrix.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 12

3. Виберіть меню Edit (Редагування). Зробіть це за допомогою кнопок зі стрілками або відповідної функціональної кнопки, яка знаходиться у верхній частині клавіатури калькулятора (розташування кнопки залежить від моделі калькулятора).

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 13

4. Введіть позначення матриці. Більшість графічних калькуляторів вміє працювати з 3-10 матрицями, які можна позначити буквами А-J. Як правило, просто виберіть [A], щоб позначити початкову матрицю. Потім натисніть кнопку Enter (Введення).

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 14

5. Введіть розмір матриці. В даній статті йдеться про матрицях 3х3. Але графічні калькулятори вміють працювати з матрицями великих розмірів. Введіть кількість рядків, натисніть кнопку Enter, потім введіть кількість стовпців і ще раз натисніть кнопку Enter.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 15

6. Введіть кожен елемент матриці. На екрані калькулятора відобразиться матриця. Якщо раніше в калькулятор вже вводилася матриця, вона з`явиться на екрані. Курсор виділить перший елемент матриці. Введіть значення першого елемента і натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елементу матриці.

Щоб ввести від`ємне значення елемента, натисніть спеціальну кнопку зі знаком «мінус», а не кнопку операції вичітанія- в іншому випадку калькулятор не зможе правильно обробити це число.

Щоб перейти до певного елемента матриці, скористайтеся кнопками зі стрілками.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 16

7. Вийдіть з режиму введення матриці. Ввівши значення всіх елементів матриці, натисніть кнопку Quit (Вихід). (Або, якщо необхідно, натисніть кнопки 2 і Quit.) Так ви вийдете з режиму введення матриці і перейдете на основний екран калькулятора.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 17

8. Скористайтеся спеціальною кнопкою, щоб знайти зворотну матрицю. По-перше, увійдіть до режиму введення матриці (натисніть кнопку Matrix) і натисніть кнопку Names (Позначення), щоб вибрати позначення матриці, яке ви вказали раніше (швидше за все, [A]). Потім натисніть кнопку виконання зворотної операції, яка позначена як

x - 1

$x ^ {{- 1}}$ (Можливо, спочатку доведеться натиснути кнопку 2). На екрані відобразиться

A - 1

$A ^ {{- 1}}$ . Натисніть Enter, щоб вивести на екран зворотну матрицю.

Не користуйтеся кнопкою ^ (кнопка для зведення в ступінь), щоб ввести A ^ -1 допомогою натискання кількох клавіш. Калькулятор не зрозуміє цю операцію.

Якщо після натискання на кнопку зворотної операції на екрані відобразилося повідомлення про помилку, швидше за все, зворотна матриця не існує. Щоб переконатися в цьому, обчисліть визначити матриці.

Find the Inverse of a 3x3 Matrix Step 18

9. Перетворіть значення елементів оберненої матриці в звичайні дроби. За замовчуванням калькулятор відображає значення елементів оберненої матриці у вигляді десяткових дробей- в більшості випадків таку матрицю можна записати у відповіді. Тому десяткові значення елементів оберненої матриці необхідно перетворити в звичайні дроби (в рідкісних випадках все елементи оберненої матриці будуть цілими числами).

У багатьох графічних калькуляторах є кнопка, що дозволяє перетворювати десяткові дроби в звичайні. Наприклад, на калькуляторі TI-86 натисніть Math (Математика), виберіть Misc (Інша), потім виберіть Frac (Дріб) і натисніть Enter. Десяткові дроби будуть автоматично перетворені в звичайні.

Поради

Описані методи можна застосовувати до матриць, елементами яких є не тільки числа, а й змінні, невідомі і навіть алгебраїчні вирази.
Обчислення записуйте на папері, так як знайти зворотну матрицю в розумі вкрай складно.
Існують комп`ютерні програми, які вміють працювати з будь-якими матрицями, включаючи матриці 30х30.
Перевірте відповідь, отриманий за допомогою будь-якого з описаних в цій статті методів. Для цього перемножте вихідну (М) і зворотний (М) матриці. Пам`ятайте, що М * М = М * М = 1. Одинична матриця - це матриця, де елементами головною діагоналі є одиниці, а іншими елементами є нулі. Якщо результат перемноження НЕ дорівнює 1, перевірте ваші обчислення.

попередження

Не всі матриці 3x3 оборотні. Якщо визначник матриці дорівнює 0, зворотна матриця не існує. (Зверніть увагу, що в обчисленнях присутній поділ на визначник, а на 0 ділити не можна.)