Як вирішити матрицю 2x3: 11 кроків (з ілюстраціями)

Системою рівнянь називається набір з двох або більше рівнянь, які мають загальний набір невідомих і, отже, спільне рішення. Графіком системи лінійних рівнянь є дві прямі, а рішенням системи є точка перетину цих прямих. Для вирішення таких систем лінійних рівнянь корисно і зручно користуватися матрицями.

кроки

Частина 1 з 2:

основи

1. Термінологія. Системи лінійних рівнянь складаються з різних компонентів. Мінлива позначається літерним символом (зазвичай x або y) і означає число, яке ви ще не знаєте і яке потрібно знайти. Постійної називається певне число, яке не змінює своє значення. Коефіцієнтом називається число, яке стоїть перед змінної, тобто те число, на яке множиться змінна.

Наприклад, для лінійного рівняння 2x + 4y = 8, x і y є змінними, 8 є постійною, а числа 2 і 4 - коефіцієнтами.

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 2

2. Форма для системи лінійних рівнянь. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з двома змінними може бути записана наступним чином: ax + by = p, cx + dy = q. Будь-які постійні (p, q) можуть бути рівні нулю, але кожне з рівнянь повинна містити щонайменше одну змінну (x, y).

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 3

3. матричні вирази. Будь-яку СЛАР можна записати в матричній формі, а потім, використовуючи алгебраїчні властивості матриць, розв`язати цю проблему. При записи системи рівнянь у формі матриці A є коефіцієнти матриці, C являє постійні матриці і X позначається невідома матриця.

Наприклад, представлена вище СЛАР може бути переписана в наступній матричної формі: A x X = C.

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 4

4. розширена матриця. Розширена матриця виходить шляхом перенесення матриці вільних членів (постійних) в ліву частину. Якщо у вас є дві матриці, A і C, то розширена матриця буде виглядати наступним чином:

Наприклад, для наступної системи лінійних рівнянь:
2х + чи = 8
x + y = 2
Розширена матриця буде мати розмірність 2x3 і виглядати наступним чином:

Частина 2 з 2:

Перетворення розширеної матриці для вирішення СЛАР

1. елементарні операції. Ви можете виробляти певні операції над матрицею, отримуючи при цьому матрицю, еквівалентну оригінальної. Такі операції називаються елементарними. Наприклад, щоб вирішити матрицю 2x3 потрібно проводити операції з рядками, щоб привести матрицю до трикутного вигляду. Такими операціями можуть бути:

перестановка двох рядків.
множення рядка на число, відмінне від нуля.
множення рядка і додаток її до іншої.

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 6

2. Множення другого рядка на відмінне від нуля число. Якщо ви хочете отримати нуль у другому рядку, ви можете помножити рядок так, щоб це стало можливим.

Наприклад, якщо у вас матриця такого вигляду:

Ви можете зберегти перший рядок і використовувати її для отримання нуля в другому рядку. Для цього необхідно спочатку помножити другий рядок на 2:

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 7

3. Помножте ще раз. Щоб отримати нуль для першого рядка, вам може знадобитися помножити ще раз, використовуючи аналогічні маніпуляції.

У наведеному прикладі необхідно помножити другий рядок на -1:

Після множення матриця буде виглядати наступним чином:

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 8

4. Додайте перший рядок до другої. Складіть рядки, щоб отримати нуль на місці елемента першого стовпця і другого рядка.

У нашому прикладі складіть обидві рядки, щоб вийшло наступне:

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 9

5. Запишіть нову систему лінійних рівнянь для трикутної матриці. Після того, як ви отримали трикутну матрицю, ви можете знову перейти до СЛАР. Перший стовпець матриці відповідає невідомої змінної x, а другий відповідає невідомої змінної y. Третій стовпець відповідає вільному члену рівняння.

Для нашого прикладу, нова система лінійних рівнянь набуде вигляду:

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 10

6. Розв`яжіть рівняння для однієї з змінних. У новій СЛАР визначте, яку змінну найпростіше знайти і вирішите рівняння.

У нашому прикладі, зручніше вирішувати з кінця, тобто від останнього рівняння до першого, рухаючись від низу до верху. З другого рівняння ми легко можемо знайти рішення для y, оскільки ми позбулися x, так, y = 2.

Зображення з назвою Solve a 2x3 Matrix Step 11

7. Знайдіть другу невідому методом підстановки. Після того, як ви знайшли одну з змінних, ви можете підставити її в друге рівняння, щоб знайти другу змінну.

У нашому прикладі просто замініть y на 2 в першому рівнянні, щоб знайти невідому x:

Поради

Елементи матриці зазвичай називають скалярами.
Щоб вирішити матрицю 2x3, ви повинні виконувати елементарні операції над рядками. Ви не можете виконувати ці операції за стовпцями.