Як обчислити центр ваги

Центр тяжкості - це точка, відносно якої сумарний момент сил ваги, що діють на систему, дорівнює нулю. Тобто це така точка, в якій система знаходиться в ідеальному рівновазі незалежно від того, як система повернута або обертається навколо цієї точки. Щоб знайти центр ваги системи, необхідно визначити масу основного об`єкта і масу тіл, що входять в систему, знайти точку відліку і підставити ці значення в формулу.

кроки

Метод 1 з 4:

Визначте вагу

1. Визначте вагу основного об`єкта. Щоб знайти центр ваги, спочатку необхідно визначити вагу основного об`єкта. Наприклад, розглянемо гойдалки-дошку (гойдалки-балансир) масою 12 кг. Таким чином, вага гойдалок дорівнює 120 Н (Р = mg, де P - вага, m - маса, g - прискорення вільного падіння, приблизно рівне 10 м / с2). Так як такі гойдалки є симетричний об`єкт, його центр тяжіння знаходиться точно по центру (коли на гойдалках нікого немає). Але якщо на гойдалках сидять діти різної маси тіла, завдання ускладнюється.

2. Визначте додаткові ваги. Щоб знайти центр ваги гойдалок з двома дітьми, необхідно визначити вагу кожної дитини. Припустимо, що маса тіла першої дитини дорівнює 16 кг, а другого - 24 кг. Таким чином, вага першої дитини дорівнює 160 Н, а другого - 240 Н.

Метод 2 з 4:

Визначте точку відліку і відстань

1. Виберіть точку відліку. Точкою відліку є будь-яка точка, яка знаходиться на одному (будь-якому) кінці дошки. Припустимо, що довжина дошки дорівнює 5 м. Помістіть точку відліку на лівій стороні дошки біля першої дитини.

2. Виміряйте відстань від точки відліку до центру основного об`єкта і до додаткових тел. Припустимо, діти сидять на відстані 50 см від кожного кінця дошки. До центру дошки 2,5 м (5/2 = 2,5). Ось відстані від точки відліку до центру основного об`єкта і двох додаткових тел:

Центр дошки знаходиться на відстані 2,5 м від точки відліку.

Перша дитина знаходиться на відстані 0,5 м від точки відліку.

Друга дитина знаходиться на відстані 4,5 м від точки відліку.

Метод 3 з 4:

Обчисліть центр ваги

1. Перемножте вага кожного тіла і його відстань до точки відліку. Так ви знайдете момент сили для кожного тіла. Ось як помножити відстань до кожного тіла на його вагу:

Дошка: 120 Н х 5 м = 600 Н х м.
Перша дитина: 160 Н x 0,5 м = 80 Н х м.
Друга дитина: 240 Н x 4,5 м = 1080 Н x м.

2. Складіть знайдені значення. Додавання: 600 + 80 + 1080 = 1760 Н х м. Сумарний момент дорівнює 1760 Н x м.

3. Складіть ваги всіх об`єктів. Знайдіть суму ваги гойдалок, ваги першої дитини і ваги другу дитину. Сума: 120 Н + 160 Н + 240 Н = 520 Н.

4. Розділіть сумарний момент на сумарна вага. Так ви знайдете відстань від точки відліку до центра ваги системи. У нашому прикладі розділіть 1760 Н х м на 520 Н.

1760 Н х м / 520 Н = 3,4 м

Центр тяжіння знаходиться на відстані 3,4 м від точки відліку або на відстані 3,4 м від лівого кінця дошки, де знаходиться точка відліку.

Метод 4 з 4:

перевірте відповідь

1. Намалюйте схему системи і відзначте на ній центр ваги. Якщо знайдений центр ваги знаходиться поза системою об`єктів, ви отримали невірну відповідь. Можливо, ви виміряли відстані від різних точок відліку. Повторіть вимірювання.

Наприклад, якщо на гойдалках сидять діти, центр ваги буде десь між дітьми, а не справа або зліва від гойдалок. Також центр ваги ніколи не співпаде з точкою, де сидить дитина.
Ці міркування вірні в двовимірному просторі. Намалюйте квадрат, в якому помістяться всі об`єкти системи. Центр ваги повинен знаходитися всередині цього квадрата.

2. Перевірте математичні обчислення, якщо ви отримали маленький результат. Якщо точка відліку знаходиться на одному кінці системи, маленький результат поміщає центр ваги біля кінця системи. Можливо, це правильна відповідь, але в переважній більшості випадків такий результат вказує на помилку. Коли ви вираховували моменти, ви перемножуємо відповідні ваги і відстані? Якщо замість множення ви склали ваги і відстані, ви отримаєте набагато менший результат.

3. Виправте помилку, якщо ви знайшли кілька центрів тяжіння. Кожна система має тільки один центр тяжіння. Якщо ви знайшли кілька центрів тяжіння, швидше за все, ви не склали всі моменти. Центр тяжіння дорівнює відношенню «сумарного» моменту до «сумарному» вагою. Не потрібно ділити «кожен» момент на «кожен» вага: так ви знайдете положення кожного об`єкта.

4. Перевірте точку відліку, якщо відповідь відрізняється на деяке ціле значення. У нашому прикладі відповідь дорівнює 3,4 м. Припустимо, ви отримали відповідь 0,4 м або 1,4 м, або інше число, що закінчується на «, 4». Це тому, що в якості точки відліку ви вибрали не лівий кінець дошки, а точку, яка розташована правіше на цілу величину. Насправді, ваш відповідь вірний, незалежно від того, яку точку відліку ви вибрали! Просто запам`ятайте: точка відліку завжди знаходиться в положенні x = 0. Ось приклад:

У нашому прикладі точка відліку перебувала на лівому кінці дошки і ми знайшли, що центр тяжіння знаходиться на відстані 3,4 м від цієї точки відліку.

Якщо в якості точки відліку вибрати точку, яка розташована на відстані 1 м вправо від лівого кінця дошки, ви отримаєте відповідь 2,4 м. Тобто центр ваги знаходиться на відстані 2,4 м від нової точки відліку, яка, в свою чергу, знаходиться на відстані 1 м від лівого кінця дошки. Таким чином, центр ваги знаходиться на відстані 2,4 + 1 = 3,4 м від лівого кінця дошки. Вийшов старий відповідь!

Примітка: при вимірюванні відстані пам`ятайте, що відстані до «лівої» точки відліку негативні, а до «правої» позитивними.

5. Відстані вимірюйте за прямими лініями. Припустимо, на гойдалках два дитини, але одна дитина набагато вищий від другого, або одна дитина висить під дошкою, а не сидить на ній. Проігноруйте таку різницю і виміряйте відстані по прямій лінії дошки. Вимірювання відстаней під кутами призведе до близьких, але не зовсім точним результатами.

У разі завдання з гойдалками-дошкою пам`ятайте, що центр тяжіння знаходиться між правим і лівим кінцями дошки. Пізніше ви навчитеся обчислювати центр ваги більш складних двовимірних систем.

Поради

Щоб знайти відстань, на яке повинен переміститися дитина, щоб збалансувати гойдалки-дошку щодо точки опори, використовуйте формулу: (переміщуваний вага) / (загальна вага) = (відстань руху центру ваги) / (відстань руху ваги). Цю формулу можна переписати так: відстань, на яке повинен переміститися дитина = (відстань між центром ваги і точкою опори х вага дитини) / (загальна вага). Тому першій дитині потрібно переміститися на -0,9 * 160/520 = -0,28 м або -28 см (до кінця дошки), а другій дитині потрібно переміститися на -0,9 * 520/240 = -1,95 м або -195 см (до кінця дошки).
Якщо потрібно знайти центр ваги двовимірного об`єкта, використовуйте формулу Xcg = ΣxW / W, щоб знайти центр тяжіння уздовж осі X, і Ycg = ΣyW / ΣW, щоб знайти центр тяжіння уздовж осі Y. Точка, в якій вони перетинаються, є центром тяжіння.
Визначення центру ваги загального розподілу мас: (∫ r dW / ∫ dW), де dW - диференціал ваги, r - радіус-вектор, а інтеграли повинні інтерпретуватися як інтеграли Стілтьєса по всьому тілу. Але ці інтеграли можуть бути виражені як більш загальні інтеграли (по щільності) Рімана або Лебега для розподілів, що допускають функцію щільності. Починаючи з цього визначення, все властивості центра ваги (включаючи ті, які описані в цій статті) можуть бути отримані з властивостей інтеграла Стілтьєса.