Як обчислити пропорцію: 9 кроків (з ілюстраціями)

Пропорція - це математичний вираз, в якому два або більше числа порівнюються один з одним. В пропорціях можуть порівнюватися абсолютні величини і кількості або частини більшого цілого. Пропорції можна записувати і обчислювати декількома різними способами, однак в основі лежить один і той же загальний принцип.

кроки

Частина 1 з 3:

Що таке пропорція

1. Дізнайтеся, для чого служать пропорції. Пропорції використовуються як в наукових дослідженнях, так і в повсякденному житті для порівняння різних величин і кількостей. У найпростішому випадку порівнюються два числа, але пропорція може включати в себе будь-яку кількість величин. При порівнянні двох або більшої кількості величин завжди можна застосувати пропорцію. Знання того, як величини співвідносяться один з одним, дозволяє, наприклад, записати хімічні формули або рецепти різних страв. Пропорції знадобляться вам для самих різних цілей.

2. Ознайомтеся з тим, що означає пропорція. Як зазначено вище, пропорції дозволяють визначити співвідношення між двома і більше величинами. Наприклад, якщо для приготування печива необхідно 2 склянки борошна і 1 стакан цукру, ми говоримо, що між кількістю борошна і цукру існує пропорція (відношення) 2 до 1.

За допомогою пропорцій можна показати, як різні величини ставляться один до одного, навіть якщо вони не пов`язані між собою безпосередньо (на відміну від рецепта). Наприклад, якщо в класі п`ять дівчаток і десять хлопчиків, відношення кількості дівчаток до числа хлопчиків становить 5 до 10. У цьому випадку одне число не залежить від іншого і не пов`язане з ним безпосередньо: пропорція може змінитися, якщо хтось покине клас або навпаки, в нього прийдуть нові учні. Пропорція просто дозволяє порівняти дві величини.

3. Зверніть увагу на різні способи вираження пропорцій. Пропорції можна записати словами або використовувати математичні символи.

У повсякденному житті пропорції частіше висловлюють словами (як наведено вище). Пропорції використовуються в найбільш різних областях, і якщо ваша професія не пов`язана з математикою або інший наукою, найчастіше вам буде потрапляти саме такий спосіб запису пропорцій.

Пропорції часто записують за допомогою двокрапки. При порівнянні двох чисел за допомогою пропорції їх можна записати через двокрапку, наприклад 7:13. Якщо порівнюється більше двох чисел, двокрапка ставиться послідовно між кожними двома числами, наприклад 10: 2: 23. У наведеному вище прикладі для класу ми порівнюємо кількість дівчаток і хлопчиків, причому 5 дівчаток: 10 хлопчиків. Таким чином, в цьому випадку пропорцію можна записати у вигляді 5:10.

Іноді під час запису пропорцій використовують знак дробу. У нашому прикладі з класом відношення 5 дівчаток до 10 хлопчикам запишеться як 5/10. У цьому випадку не слід читати знак "ділити" і необхідно пам`ятати, що це не дріб, а співвідношення двох різних чисел.

Частина 2 з 3:

Операції з пропорціями

1. Наведіть пропорцію до найпростішої формі. Пропорції можна спрощувати, як і дроби, за рахунок скорочення вхідних у них членів на загальний дільник. Щоб спростити пропорцію, поділіть всі вхідні в неї числа на загальні дільники. Однак при цьому не слід забувати про первинні величинах, які привели до даної пропорції.

У наведеному вище прикладі з класом з 5 дівчаток і 10 хлопчиків (5:10) обидві сторони пропорції мають спільний дільник 5. Поділивши обидві величини на 5 (найбільший спільний дільник), отримуємо ставлення 1 дівчинка на 2 хлопчика (тобто 1: 2). Однак при використанні спрощеної пропорції слід пам`ятати про первинні числах: в класі не 3 учня, а 15. Скорочена пропорція лише показує відношення між кількістю дівчаток і хлопчиків. На кожну дівчинку доводиться два хлопчика, але це аж ніяк не означає, що в класі 1 дівчинка і 2 хлопчика.
Деякі пропорції не піддаються спрощень. Наприклад, ставлення 3:56 не можна скоротити, тому що входять до пропорцію величини не мають спільного дільника: 3 є простим числом, а 56 не ділиться на 3.

2. Для "масштабування" пропорції можна множити або ділити. Пропорціями часто користуються для того, щоб збільшити або зменшити числа в пропорції один до одного. Множення або ділення всіх вхідних в пропорцію величин на одне і те ж число зберігає незмінним відношення між ними. Таким чином, пропорції можна множити або ділити на "масштабний" фактор.

Припустимо, пекаря необхідно потроїти кількість випікається печива. Якщо борошно і цукор беруться в пропорції 2 до 1 (2: 1), для збільшення кількості печива в три рази дану пропорцію слід помножити на 3. В результаті вийде 6 склянок борошна на 3 склянки цукру (6: 3).

Можна зробити і навпаки. Якщо пекареві необхідно зменшити кількість печива в два рази, слід обидві частини пропорції поділити на 2 (або помножити на 1/2). В результаті вийде 1 склянка борошна на півсклянки (1/2, або 0,5 склянки) цукру.

3. Навчіться за двома еквівалентним пропорціям знаходити невідому величину. Ще однією розповсюдженою завданням, для вирішення якої широко використовуються пропорції, є знаходження невідомої величини в одній з пропорцій, якщо дана аналогічна їй друга пропорція. правило множення дробів значно спрощує цю задачу. Запишіть кожну пропорцію у вигляді дробу, потім прирівняти ці дроби один одному і знайдіть шукану величину.

Припустимо, у нас є невелика група учнів з 2 хлопчиків і 5 дівчаток. Якщо ми хочемо зберегти співвідношення між хлопчиками і дівчатками, скільки хлопчиків має бути в класі, в який входить 20 дівчаток? Для початку складемо обидві пропорції, одна з яких містить невідому величину: 2 хлопчика: 5 дівчаток = x хлопчиків: 20 дівчаток. Якщо ми запишемо пропорції у вигляді дробів, у нас вийде 2/5 і x / 20. Після множення обох частин рівності на знаменники отримуємо рівняння 5x = 40 ділимо 40 на 5 і в підсумку знаходимо x = 8.

Частина 3 з 3:

виявлення помилок

1. При операціях з пропорціями уникайте додавання і віднімання. Багато задач з пропорціями звучать подібно наступної: "Для приготування страви потрібно 4 картоплини і 5 морквин. Якщо ви хочете використовувати 8 картоплин, скільки морквин вам знадобиться?"Багато припускаються помилки і намагаються просто скласти відповідні величини. Однак для збереження колишньої пропорції слід множити, а не складати. Ось помилкове і правильне рішення даної задачі:

Неправильний метод: "8 - 4 = 4, тобто в рецепті додалося 4 картоплини. Значить, необхідно взяти колишні 5 морквин і додати до них 4, щоб... щось не те! З пропорціями діють по-іншому. Спробуємо ще раз".
Правильний метод: "8/4 = 2, тобто кількість картоплин виросло в 2 рази. Це означає, що і число морквин слід помножити на 2. 5 x 2 = 10, тобто в новому рецепті необхідно використовувати 10 морквин ".

2. Переведіть всі значення в однакові одиниці виміру. Іноді проблема виникає через те, що величини мають різні одиниці виміру. Перш ніж записувати пропорцію, переведіть всі величини в однакові одиниці виміру. наприклад:

У дракона є 500 грамів золота і 10 кілограмів срібла. Яке співвідношення золота до срібла в драконівських запасах?

Грами і кілограми є різними одиницями виміру, тому їх слід уніфікувати. 1 кілограм = 1 000 грамів, тобто 10 кілограмів = 10 кілограмів x 1 000 грамів / 1 кілограм = 10 x 1 000 грамів = 10 000 грамів.

Отже, дракон має 500 грамів золота і 10 000 грамів срібла.

Відношення маси золота до маси срібла становить 500 грамів золота / 10 000 грамів срібла = 5/100 = 1/20.

3. Записуйте в рішенні завдання одиниці виміру. У завданнях з пропорціями набагато легше знайти помилку в тому випадку, якщо записувати після кожної величини її одиниці вимірювання. Пам`ятайте про те, що якщо в чисельнику і знаменнику стоять однакові одиниці виміру, вони скорочуються. Після всіх можливих скорочень у відповіді повинні вийти правильні одиниці вимірювання.

Наприклад: дані 6 коробок, і в кожних трьох коробках знаходиться 9 кульок- скільки всього кульок?

Неправильний метод: 6 коробок х 3 коробки / 9 кульок = ... Хм, нічого не скорочується, і у відповіді виходить "коробки x коробки / кульки". Це не має сенсу.

Правильний метод: 6 коробок х 9 кульок / 3 коробки = 6 коробок х 3 кульки / 1 коробка = 6 х 3 кульки / 1 = 18 кульок.