Як зрозуміти алгебру (з ілюстраціями)

Спочатку алгебра може здатися складним предметом. Але якщо створити базу початкових математичних знань і вивчити деякі алгебраїчні поняття, цей предмет дасться вам набагато легше. Щоб вирішити будь-яку алгебраїчну задачу, потрібно виконати ряд послідовних нескладних операцій. При цьому вихідна задача приводиться до такого виду, що її дуже легко вирішити.

кроки

Частина 1 з 5:

визначення цілей

1. Уважно прочитайте умову задачі. Необхідно з`ясувати, що потрібно зробити в даній задачі. Зверніть увагу на ключові слова «вирішити», «спростити», «розкласти» або «скоротити». Ці слова найчастіше зустрічаються в умовах завдань (хоча є й інші). Пам`ятайте, що не потрібно «вирішувати» задачу, якщо потрібно «спростити» її.

2. Виконайте відповідні дії. За ключовими словами в умові завдання можна визначити, які дії потрібно виконати. Не витрачайте час на дії, які не потрібно виконувати в цьому завданню. Основними діями є:

вирішити. Тут необхідно знайти фактичне чисельне рішення, наприклад, значення змінної x = 4.

спростити. Тут вихідне рівняння (або нерівність) потрібно переписати в більш простій формі, але чисельна рішення (значення змінної) знаходити не потрібно.

Розкласти на множники. Ця дія аналогічно «спрощення» і зазвичай застосовується до складних многочленів та дробям. Тут вираження алгебри (або число) потрібно розкласти на ряд множників. Наприклад, число 12 можна розкласти на множники 3x4- аналогічно на множники можна розкласти алгебраїчний многочлен.

Наприклад, вираз

5 x

можна розкласти на множники

5

x

Наприклад, вираз

x 2 + 3 x + 2

$x ^ {2} + 3x + 2$ можна розкласти на множники

(x + 2)

(x + 1)

скоротити. Тут потрібно позбутися від деяких членів виразу, щоб записати вихідне вираз в більш простому вигляді. Скорочення включає в себе розкладання на множники і спрощення. Потрібно розкласти на множники чисельник і знаменник дробу. Потім знайти однакові члени в чисельнику і знаменники і скоротити їх. Отриманий вираз буде «скороченою» формою вихідного вираження. Наприклад, скоротіть вираз

6 x 2 2 x

${ Frac {6x ^ {2}} {2x}}$ наступним чином:

1. Розкладіть на множники чисельник і знаменник:

(3) (2) (x) (x) (2) (x)

2. Знайдіть однакові члени. У чисельнику і знаменнику присутні «2» і «x».

3. Скоротіть однакові члени:

(3) (2) (x) (x) (2) (x)

4. Запишіть скорочена вираз:

3 x

3. Запам`ятайте різницю між «виразом» і «рівнянням». В алгебрі різниця між «виразом» і «рівнянням» досить істотна. Вираз являє собою будь-яку групу чисел і змінних, пов`язаних математичними операціями. Деякі приклади виразів:

x 2

$x ^ {2}$ ,

14 x y z

\sqrt{2 x + 15}

. Вираз можна розкласти на множники, спростити, скоротити, але не вирішити. Рівняння обов`язково включає знак рівності «=». Рівняння можна розкласти на множники, спростити, скоротити і вирішити, тобто отримати чисельний розв`язок.

Наприклад, якщо дано вираз

4 x 2

$4x ^ {2}$ , ви не отримаєте єдине чисельне рішення. Ви могли б знайти, що якщо

x = 1

, то вираз дорівнює 4, а якщо

x = 2

, то вираз дорівнює

(4) (2) 2

$(4) (2) ^ {2}$ = 16. Але однозначної відповіді (відповіді) не.

Частина 2 з 5:

порядок операцій

1. Запам`ятайте правильний порядок виконання математичних операцій. В алгебрі абсолютно всі математичні операції виконуються в певному порядку. Ось він:

дію в дужках;
зведення в ступінь;
множення;
розподіл;
складання;
віднімання.

2. Спочатку виконайте операції всередині дужок. Якщо дано вираз або рівняння, деякі члени якого укладені в дужки, спочатку потрібно виконати операції всередині дужок. Розглянемо різницю між виразами

5 * 3 + 2

5 * (3 + 2)

Перший вираз (без дужок):

5 * 3 + 2

15 + 2 = 17

Другий вираз (з дужками):

5 * (3 + 2)

5 * 5 = 25

(Тут спочатку складаємо 3 + 2 = 5).

3. Далі зведіть до степеня. Піднесення до степеня - це другий крок у правильному порядку операцій. Наприклад, дано вираз

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$ . Якщо не дотримуватися порядку операцій, то спочатку потрібно перемножити:

3 * 2 = 6

, а потім звести в квадрат: 6 ^ 2 = 36, але так ви отримаєте неправильний результат. Ось як знайти вірне рішення:

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$

3 * 4

(Спочатку зведіть в квадрат).

12

(Це правильний результат).

4. Помножте або розділіть, починаючи зліва. Коли ви зведете щось в ступінь, виконайте операції множення і деленія- почніть з лівого боку вираження.

3 + 4 * 2 - 6 / 3

3 + 8 - 2

, де 4 * 2 = 8 і 6/3 = 2.

5. Складіть або відніміть, починаючи зліва. Все, що залишилося зробити - відняти або скласти члени вираженія- почніть з лівого боку вираження. Наприклад, дано вираз

4 + 2 - 3 - 1 - 5 + 2

4 + 2 - 3 - 1 - 5 + 2

6 - 3 - 1 - 5 + 2

(Склали 4 + 2)

3 - 1 - 5 + 2

(Відняли 6-3)

2 - 5 + 2

(Відняли 3-1)

- 3 + 2

(Відняли 2-5)

- 1

(Склали -3 + 2)

Якщо виконати операції в іншому порядку, ви отримаєте невірний результат. Наприклад, припустимо, що спочатку ви все склали, а потім відняли:

4 + 2 - 3 - 1 - 5 + 2

6 - 3 - 1 - 7

(Склали 4 + 2 і 5 + 2)

3 - 1 - 7

(Відняли 6-3)

2 - 7

(Відняли 3-1)

- 5

(Відняли 2-7. Отримали результат -5, який невірний)

Частина 3 з 5:

Робота зі змінними

1. Використовуйте символи, відмінні від цифр. Коли ви починали вивчати математику, ви працювали тільки з числами. В алгебрі потрібно вміти розв`язувати рівняння з невідомими членами. У рівняннях невідомі члени представлені буквами, які називаються змінними. Ставтеся до таких буквах як до чисел, хоча ви ще не знаєте їх фактичних значень. Ось найпоширеніші змінні:

Латинські букви, такі як $x$ , $y$ і $z$ ;
Грецькі літери, такі як $θ$ , $α$ і $σ$ .
Деякі символи схожі на змінні, але насправді не є такими. Наприклад, грецька буква π позначає число Пі, значення якого відомо: 3,1415.

2. Розглядайте змінну як невідоме число. Наприклад, якщо сказано «два помножити на деяке число», це можна записати у вигляді виразу

2 * x

. Мінлива

x

замінює невідоме число ( «деяке число»). У більшості алгебраїчних задач потрібно знайти значення змінної.

Наприклад, дано рівняння

4 + x = 9

. Тут необхідно з`ясувати, яка кількість потрібно додати до 4, щоб отримати 9. Відповідь - число 5, що можна записати в вигляді

x = 5

3. Наведіть (складіть або відніміть) подібні (однакові) члени (в даному випадку змінні). Якщо розглядати змінні як числа, їх можна додавати і віднімати. Така дія називається «приведенням подібних членів».

Наприклад, дано рівняння

2 x + 3 x = 10

. У ньому дві змінні додаються до трьох таким же змінним, а все вираз дорівнює 10.Якщо у вас є два і три однакових предмета, їх можна скласти. У нашому прикладі

2 x + 3 x

= 5x, тому вихідне рівняння запишеться так:

5 x = 10

, а рішення так:

x = 2

Додавати і віднімати можна тільки подібні (однакові) змінні. Пам`ятайте, що в деяких рівняннях є кілька різних змінних. Наприклад, в рівнянні

2 x + 3 y = 10

змінні

x

y

складати не можна, тому що вони різні, тобто є заміною різних невідомих чисел.

Частина 4 з 5:

Зворотні операції

1. Запам`ятайте, що таке зворотна операція (зворотну дію). Зворотні операції відіграють велику роль в алгебрі. Зворотне означає протилежне. Зворотні дії дозволяють спростити задачу. Наприклад, якщо в задачі є операція множення, використовуйте поділ, яке є зворотною дією до множення, щоб вирішити задачу.

Зворотна операція до складання - віднімання.
Зворотна операція до віднімання - додавання.
Зворотна операція до множення - ділення.
Зворотна операція до поділу - множення.
Зворотна операція до зведення в ступінь - добування кореня (квадратного кореня, кубічного кореня і так далі).

2. ізолюйте змінну. Якщо потрібно «вирішити» рівняння, це означає, що необхідно прийти до рівності

x =

__, де замість пробілу варто число. Скористайтеся математичними операціями, щоб змінна

x

залишилася на одній стороні рівняння, а всі інші члени - на іншій стороні рівняння. Це можна зробити за допомогою зворотних операцій.

Запам`ятайте: будь-яка операція, яку ви виконуєте на одній стороні рівняння, повинна бути виконана і на іншій стороні. Тільки так значення вихідного рівняння не зміниться.

3. Позбавтеся від позитивних чисел за допомогою операції віднімання (і навпаки). Якщо в рівнянні до змінної додається або віднімається якесь число, позбудьтеся від нього за допомогою зворотної операції, щоб ізолювати змінну.

Наприклад, в рівнянні

x + 3 = 7

потрібно ізолювати змінну

x

. Зворотним членом до

+ 3

є член

- 3

. Пам`ятайте, що будь-яка операція повинна бути виконана на обох сторонах рівняння. Отже:

x + 3 = 7

x + 3 - 3 = 7 - 3

(Відняли 3 від обох сторін рівняння)

x = 4

(3-3 = 0)

Приклад іншого рівняння з вирахуванням:

x - 8 = 12

x - 8 + 8 = 12 + 8

(Додали 8 до обох сторін рівняння)

x = 20

(8-8 = 0)

4. Позбавтеся від числа, яке множиться на змінну, за допомогою операції ділення (і навпаки). Наприклад, член

3 x

можна записати так:

3 * x

. Щоб ізолювати змінну, застосуєте операцію ділення. Не забудьте розділити обидві сторони рівняння.

Розглянемо рівняння

3 x = 24

. Тут 3 множиться на «х», тому будемо ділити:

3 x = 24

3 x 3 = \frac{24}{3}

${ Frac {3x} {3}} = { frac {24} {3}}$ (Розділіть обидві сторони рівняння на 3. Зверніть увагу, що символ ділення

\div

зазвичай не використовується в алгебрі - члени рівняння / вирази записуються у вигляді дробу.)

x = 8

(В дроби зліва 3 в чисельнику і 3 в знаменнику скорочуються)

Розглянемо інше рівняння з розподілом

\frac{x}{4} = 9

\frac{x}{4} = 9

\frac{x}{4} * 4 = 9 * 4

(Помножте обидві сторони рівняння на 4)

x = 36

(В дроби зліва 4 в чисельнику і 4 в знаменнику скорочуються)

5. Використовуйте комбінацію складання / віднімання та множення / ділення. Якщо дана більш складна задача, доведеться виконати кілька операцій, щоб ізолювати змінну. Спочатку застосуєте додавання чи віднімання, щоб ізолювати змінну з коефіцієнтом. Потім за допомогою множення або ділення позбудьтеся від коефіцієнта, щоб знайти рішення.

3 x + 5 = 23

3 x + 5 - 5 = 23 - 5

(Спочатку відніміть 5 з обох сторін рівняння)

3 x = 18

(5-5 = 0)

3 x 3 = \frac{18}{3}

${ Frac {3x} {3}} = { frac {18} {3}}$ (Розділіть обидві сторони рівняння на 3)

x = 6

(В дроби зліва 3 в чисельнику і 3 в знаменнику скорочуються)

6. перевірте результат. Щоб дізнатися, чи правильно ви вирішили рівняння, перевірте отриману відповідь. Для цього результат підставте (замість змінної) у вихідне рівняння. Якщо рівність дотримується, рішення вірне.

У нашому прикладі

3 x + 5 = 23

ми знайшли, що

x = 6

. Замість «х» підставте 6:

3 x + 5 = 23

3 (6) + 5 = 23

(Підставте значення

x = 6

)

18 + 5 = 23

(Спростите рівняння)

23 = 23

(Рівність дотримується, тому

x = 6

є правильним рішенням)

Частина 5 з 5:

Створення бази математичних знань

1. Навчіться користуватися основними математичними операціями. Алгебра являє собою систему роботи з числами і математичними операціями, яка необхідна для вирішення завдань. Вивчаючи алгебру, необхідно знати основні правила, щоб вирішувати завдання. Щоб вивчити правила, потрібно добре розбиратися і вміти застосовувати основні математичні операції, такі як додавання, віднімання, множення і ділення. Зокрема, потрібно вміти:

швидко додавати і віднімати однозначні числа- прекрасно, якщо ви вмієте працювати з двозначними числами;
знати таблицю множення від 1 до 12;
знати подільники та множники чисел до числа 144 (12x12).

2. Вивчіть правила дій з дробами. В алгебрі дії з дробами зустрічаються дуже часто. Необхідно вміти знаходити спільний знаменник, додавати і віднімати дроби, а також множити і ділити їх. Вивчіть основи дій з дробами, щоб потім навчиться розв`язувати рівняння з дробами.

Ознайомтеся зі зворотним дробом. Це дріб, в якій чисельник і знаменник міняються місцями. Тобто, зворотної дробом для

\frac{2}{3}

\frac{3}{2}

, а для

\frac{4}{5}

дріб

\frac{5}{4}

. Зворотні дробу використовуються замість операції ділення в складних задачах. Замість того щоб ділити на дріб, помножте її на зворотну.

3. Навчіться працювати з негативними числами. Негативні числа і змінні зустрічаються в задачах дуже часто. Потрібно вміти складати, віднімати, множити і ділити негативні числа і змінні, щоб зрозуміти алгебру. Нижче наведені деякі основні правила роботи з негативними числами.

на числової прямої відстань від нуля до негативного числа таке ж, як до позитивного, тільки це відстань міряється вліво.

Якщо скласти два від`ємних числа, ви отримаєте негативне число, яке на числовій прямій лежить далі від нуля (чим кожне з складаються чисел).

Два «мінуса» дають «плюс». Тобто віднімання негативного числа рівнозначно збільшенню позитивного числа.

4 - (- 3) можна записати так: 4 + 3 = 7.

Множення або ділення двох негативних чисел дає позитивний число.

Множення або ділення одного позитивного числа і одного негативного числа дає негативний число.

Поради

постійно вчитеся. Відвідуйте уроки / лекції і виконуйте класні / аудиторні та домашні завдання. Запам`ятайте: щоб зрозуміти алгебру, потрібно регулярно практикуватися в рішенні задач.
Спілкуйтеся з учителем / викладачем. Якщо у вас виникли питання або труднощі, зверніться до вчителя / викладача. Деяким алгебра дається легко, а іншим - не дуже. Швидше за все, вчитель / викладач знайде спосіб пояснити вам тему доступніше. Не здавайтеся - краще попросіть про допомогу.
Завжди перевіряйте відповідь. Коли ви вирішили рівняння, знайдене значення підставте в вихідне рівняння, щоб перевірити відповідь.
Пам`ятайте, що якщо в дужки укладена ще одна пара дужок, спочатку виконайте дії у внутрішніх дужках, а потім у зовнішніх дужках.