Як спрощувати алгебраїчні вирази

Спрощення виразів алгебри є одним з ключових моментів вивчення алгебри і надзвичайно корисним навиком для всіх математиків. Спрощення дозволяє привести складне або довге вираження до простого висловом, з яким легко працювати. Базові навички спрощення добре даються навіть тим, хто не в захваті від математики. Дотримуючись кілька простих правил, можна спростити багато з найбільш поширених типів алгебраїчних виразів без будь-яких спеціальних математичних знань.

кроки

важливі визначення

подібні члени. Це члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними або вільні члени (члени, що не містять змінну). Іншими словами, подібні члени включають одну змінну в одній і тій же мірі, включають кілька однакових змінних або не включають змінну зовсім. Порядок членів у виразі не має значення.

Наприклад, 3x і 4x - це подібні члени, так як вони містять змінну «х» другого порядку (в другому ступені). Однак х і x не є подібними членами, так як містять змінну «х» різних порядків (першого і другого). Точно так же -3yx і 5хz не є подібними членами, так як містять різні змінні.

Розкладання на множники. Це знаходження таких чисел, твір яких призводить до вихідного числа. Будь-яке вихідне число може мати кілька множників. Наприклад, число 12 може бути розкладено на наступний ряд множників: 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4, тому можна сказати, що числа 1, 2, 3, 4, 6 і 12 є множниками числа 12. Множники збігаються з дільниками, тобто числами, на які ділиться вихідне число.

Наприклад, якщо ви хочете розкласти на множники число 20, запишіть це так: 4 × 5.

Зверніть увагу, що при розкладанні на множники змінна враховується. Наприклад, 20x = 4 (5x).

Прості числа не можуть бути розкладені на множники, тому що вони діляться тільки на себе і на 1.

3. Запам`ятайте і дотримуйтесь порядок виконання операцій з метою уникнення помилок.

дужки

ступінь

множення

розподіл

додавання

віднімання

Метод 1 з 3:

Приведення подібних членів

1. Запишіть вираз. Найпростіші алгебраїчні вирази (які не містять дробів, коренів і так далі) можна вирішити (спростити) всього за кілька кроків.

Наприклад, спростите вираз 1 + 2x - 3 + 4x.

2. Визначте подібні члени (члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними або вільні члени).

Знайдіть подібні члени в цьому виразі. Члени 2x і 4x містять змінну одного порядку (першого). Крім того, 1 і -3 - це вільні члени (не містять змінну). Таким чином, в цьому виразі члени 2х і 4x є подібними, і члени 1 і -3 теж є подібними.

3. Наведіть подібні члени. Це означає скласти або відняти їх і спростити вираз.

2x + 4x = 6х

1 - 3 = -2

4. Перепишіть вираз з урахуванням наведених членів. Ви отримаєте простий вислів з меншою кількістю членів. Нове вираз дорівнює вихідному.

У нашому прикладі: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, тобто вихідне вираз спрощено і з ним легше працювати.

5. Дотримуйтесь порядок виконання операцій при приведенні подібних членів. У нашому прикладі було легко привести подібні члени. Однак в разі складних виразів, в яких члени укладені в дужки і присутні дробу і коріння, привести подібні члени не так просто. У цих випадках дотримуйтесь порядок виконання операцій.

Наприклад, розглянемо вираз 5 (3x - 1) + х ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Тут було б помилкою відразу визначити 3x і 2x як подібні члени і привести їх, тому що спочатку необхідно розкрити дужки. Тому виконайте операції згідно їх порядку.

5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x

15x - 5 + x (x) + 8 - 3x

15x - 5 + x + 8 - 3x. тепер, коли в виразі присутні тільки операції додавання і віднімання, ви можете привести подібні члени.

x + (15x - 3x) + (8 - 5)

x + 12x + 3

Метод 2 з 3:

Винесення множника за дужки

1. Знайдіть найбільший спільний дільник (НОД) всіх коефіцієнтів вираження. НСД - це найбільше число, на яке діляться всі коефіцієнти виразу.

Наприклад, розглянемо рівняння 9x + 27x - 3. В цьому випадку НОД = 3, так як будь-який коефіцієнт даного виразу ділиться на 3.

2. Розділіть кожен член виразу на НОД. Отримані члени будуть містити менші коефіцієнти, ніж у вихідному виразі.

У нашому прикладі розділіть кожен член виразу на 3.

9x / 3 = 3x

27x / 3 = 9x

-3/3 = -1

вийшло вираз 3x + 9x - 1. Воно не дорівнює вихідному висловом.

3. Запишіть вихідне вираз як дорівнює добутку НСД на отриманий вираз. Тобто укладіть отриманий вираз в дужки, а за дужки винесіть НСД.

У нашому прикладі: 9x + 27x - 3 = 3 (3x + 9x - 1)

4. Спрощення дробових виражень за допомогою винесення множника за дужки. Навіщо просто виносити множник за дужки, як це було зроблено раніше? Потім, щоб навчитися спрощувати складні вирази, наприклад дробові вирази. В цьому випадку винесення множника за дужки може допомогти позбутися від дробу (від знаменника).

Наприклад, розглянемо дробове вираження (9x + 27x - 3) / 3. Скористайтеся винесенням множника за дужки, щоб спростити цей вираз.

Винесіть множник 3 за дужки (як ви робили це раніше): (3 (3x + 9x - 1)) / 3

Зверніть увагу, що тепер і в чисельнику, і в знаменнику присутній число 3. Його можна скоротити, і ви отримаєте вираз: (3x + 9x - 1) / 1

Так як будь-яка дріб, у якої в знаменнику знаходиться число 1, дорівнює просто чисельнику, то вихідне дробове вираження спрощується до: 3x + 9x - 1.

Метод 3 з 3:

Додаткові методи спрощення

1. Спрощення дробових виражень. Як зазначалося вище, якщо і в чисельнику, і в знаменнику присутні однакові члени (або навіть однакові вирази), то їх можна скоротити. Для цього потрібно винести за дужки загальний множник у чисельника або у знаменника, або як у чисельника, так і у знаменника. Або можна розділити кожен член чисельника на знаменник і таким чином спростити вираз.

Наприклад, розглянемо дробове вираження (5x + 10x + 20) / 10. Тут просто розділіть кожен член чисельника на знаменник (10). Але врахуйте, що член 5x не ділиться на 10 без остачі (так як 5 менше 10).

Тому запишіть спрощене вираз так: ((5x) / 10) + x + 2 = (1/2) x + x + 2.

2. Спрощення підкореневих виразів. Висловлювання, які стоять під знаком кореня, називаються подкоренного висловлювання. Вони можуть бути спрощені через їх розкладання на відповідні множники і подальший винос одного множника з-під кореня.

Розглянемо простий приклад: √ (90). Число 90 можна розкласти на такі множники: 9 і 10, а з 9 витягти квадратний корінь (3) і винести 3 з-під кореня.

√ (90)

√ (9 × 10)

√ (9) × √ (10)

3 × √ (10)

3√ (10)

3. Спрощення виразів зі ступенями. У деяких висловах присутні операції множення або ділення членів зі ступенем. У разі множення членів з однією підставою їх ступеня складиваются- в разі поділу членів з однією підставою їх ступеня віднімаються.

Наприклад, розглянемо вираз 6x × 8x + (x / x). У разі множення складіть ступеня, а в разі поділу - відніміть їх.

6x × 8x + (x / x)

(6 × 8) x + (x)

48x + x

Далі наведено пояснення правила множення і ділення членів зі ступенем.

Множення членів зі ступенями рівносильно множенню членів на самих себе. Наприклад, так як x = x × x × x і x = x × x × x × x × x, то x × x = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), або x.

Аналогічно, розподіл членів зі ступенями рівносильно поділу членів на самих себе. x / x = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Так як подібні члени, що знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику, можуть бути скорочені, то в чисельнику залишається твір двох «х», або x.

Поради

Завжди пам`ятайте про знаках (плюс або мінус), що стоять перед членами виразу, так як багато хто відчуває труднощі з вибором правильного знака.
Попросіть про допомогу, якщо це необхідно!
Спрощувати алгебраїчні вирази нелегко, але якщо ви наб`єте руку, ви зможете використовувати цей навик все життя.