Як спростити математичний вираз: 13 кроків

Найчастіше в задачах потрібно привести спрощений відповідь. Хоча і спрощений, і неспрощених відповіді є вірними, викладач може знизити вашу оцінку, якщо ви не спростите відповідь. Більш того, з спрощеним математичним виразом набагато легше працювати. Тому дуже важливо навчитися спрощувати вирази.

кроки

Метод 1 з 2:

Правильний порядок виконання математичних операцій

1. Запам`ятайте правильний порядок виконання математичних операцій. При спрощення математичного виразу необхідно дотримуватися певний порядок дій, так як деякі математичні операції мають пріоритет над іншими і повинні бути зроблені в першу чергу (насправді недотримання правильного порядку виконання операцій приведе вас до неправильного результату). Запам`ятайте наступний порядок виконання математичних операцій: вираз в дужках, зведення в ступінь, множення, ділення, додавання, віднімання.

Зверніть увагу, що знання правильного порядку виконання операцій дозволить вам спростити більшість найпростіших виразів, але для спрощення многочлена (вираження зі змінною) необхідно знати спеціальні прийоми (дивіться наступний розділ).

2. Почніть з рішення вираження в дужках. В математиці дужки вказують на те, що укладена в них вираз має бути виконано в першу чергу. Тому при спрощення будь-якого математичного виразу починайте з вирішення вираження, укладеного в дужки (при цьому неважливо, які операції потрібно виконати всередині дужок). Але пам`ятайте, що працюючи з виразом, укладеними в дужки, слід дотримуватися порядку проведення операцій, тобто члени в дужках спочатку перемножуються, діляться, складаються, віднімаються і так далі.

Наприклад, спростимо вираз 2x + 4 (5 + 2) + 3 - (3 + 4/2). Тут почнемо з виразів в дужках: 5 + 2 = 7 і 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.

Вираз в другій парі дужок спрощується до 5, тому що спочатку потрібно розділити 4/2 (згідно правильному порядку виконання операцій). Якщо не дотримуватися цього порядку, то ви отримаєте неправильна відповідь: 3 + 4 = 7 і 7 ÷ 2 = 7/2.

Якщо в дужках є ще одна пара дужок, почніть спрощення з рішення вираження у внутрішніх дужках, а потім переходите до вирішення вираження в зовнішніх дужках.

3. Зведіть до степеня. Вирішивши вираження в дужках, перейдіть до зведення в ступінь (пам`ятаєте, що у ступеня є показник ступеня і підстава ступеня). Зведіть відповідний вираз (або число) в ступінь і підставте результат в даний вам вираз.

У нашому прикладі єдиним виразом (числом) в ступені є 3: 3 = 9. В даному вам вираженні замість 3 підставте 9 і ви отримаєте: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. помножте. Пам`ятайте, що операція множення може позначатися наступними символами: «х», «∙» або «*». Але якщо між числом і змінної (наприклад, 2х) або між числом і числом в дужках (наприклад, 4 (7)) немає ніяких символів, то це також є операцією множення.

У нашому прикладі присутні дві операції множення: 2x (два помножити на змінну «х») і 4 (7) (чотири помножити на сім). Ми не знаємо значення х, тому вираз 2х залишимо як є. 4 (7) = 4 х 7 = 28. Тепер ви можете переписати дане вам вираз так: 2x + 28 + 9 - 5.

5. розділіть. Пам`ятайте, що операція ділення може позначатися наступними символами: «/», «÷» або «-» (останній символ ви можете зустріти в дробах). Наприклад 3/4 - це три, поділене на чотири.

У нашому прикладі операції ділення більше немає, так як ви вже розділили 4 на 2 (4/2) при вирішенні вираження в дужках. Тому ви можете перейти до наступного кроку. Пам`ятайте, що в більшості виразів немає відразу всіх математичних операцій (тільки деякі з них).

6. складіть. При додаванні членів виразу ви можете почати з самого крайнього (зліва) члена, або можете спочатку скласти ті члени вираження, які легко складаються. Наприклад, в вираженні 49 + 29 + 51 +71 спочатку легше скласти 49 + 51 = 100, потім 29 + 71 = 100 і, нарешті, 100 + 100 = 200. Набагато складніше складати так: 49 + 29 = 78-78 + 51 = 129- 129 + 71 = 200.

У нашому прикладі 2x + 28 + 9 + 5 присутні дві операції додавання. Почнемо з самого крайнього (зліва) члена: 2x + 28- ви не можете скласти 2х і 28, бо не знаєте значення змінної «х». Тому складіть 28 + 9 = 37. Тепер вираз можна переписати так: 2х + 37 - 5.

7. відніміть. Це остання операція в правильному порядку виконання математичних операцій. На цьому етапі ви також можете додавати негативні числа або ж робити це на етапі складання членів - це ніяк не відіб`ється на кінцевому результаті.

У нашому прикладі 2х + 37 - 5 присутній тільки одна операція віднімання: 37 - 5 = 32.

8. На цьому етапі, виконавши всі математичні операції, ви повинні отримати спрощене вираз. Але якщо дане вам вираз містить одну або кілька змінних, то пам`ятайте, що член зі змінною залишиться таким, як є. Рішення (а не спрощення) вираження зі змінною передбачає перебування значення цієї змінної. Іноді вираження зі змінною можна спростити, використовуючи спеціальні методи (дивіться наступний розділ).

У нашому прикладі остаточну відповідь: 2х + 32. Ви не зможете скласти два члена, поки не дізнаєтеся значення змінної «х». Дізнавшись значення змінної, ви з легкістю спростите цей двочлен.

Метод 2 з 2:

Спрощення складних виразів

1. Додавання подібних членів. Пам`ятайте, що віднімати і складати можна виключно подібні члени, тобто члени з однаковою змінної і однаковим показником ступеня. Наприклад, можна скласти 7x і 5x, але не можна складати 7x і 5x (так як тут показники ступеня різні).

Це правило поширюється і на членів з декількома змінними. Наприклад, можна скласти 2xy і -3xy, але не можна складати 2xy і -3xy або 2xy і -3y.
Розглянемо приклад: x + 3x + 6 - 8x. Тут подібними членами є 3x і 8x, тому їх можна скласти. Спрощене вираз виглядає так: x - 5x + 6.

2. Спростіть числову дріб. У такій дробу і в чисельнику, і в знаменнику знаходяться числа (без змінної). Числова дріб спрощується декількома способами. По-перше, просто розділіть знаменник на чисельник. По-друге, розкладіть чисельник і знаменник на множники і скоротіть однакові множники (так як при розподілі числа на саме себе ви отримаєте 1). Іншими словами, якщо і у чисельника, і у знаменника є один і той же множник, його можна відкинути і отримати спрощену дріб.

Наприклад, розглянемо дріб 36/60. За допомогою калькулятора розділіть 36 на 60 і отримаєте 0,6. Але ви можете спростити цей дріб і по-іншому, розклавши чисельник і знаменник на множники: 36/60 = (6х6) / (6х10) = (6/6) * (6/10). Так як 6/6 = 1, то спрощена дріб: 1 х 6/10 = 6/10. Але цей дріб також можна спростити: 6/10 = (2х3) / (2 * 5) = (2/2) * (3/5) = 3/5.

3. Якщо дріб містить змінну, можна скоротити однакові множники зі змінною. Розкладіть і чисельник, і знаменник на множники і скоротіть однакові множники, навіть якщо вони містять змінну (пам`ятаєте, що тут однакові множники можуть містити або не містити змінну).

Розглянемо приклад: (3x + 3x) / (- 3x + 15x). Цей вислів можна переписати (розкласти на множники) у вигляді: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x). Так як член 3x знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику, його можна скоротити, і ви отримаєте спрощене вираз: (х + 1) / (5 - х). Розглянемо ще один приклад: (2x + 4x + 6) / 2 = (2 (x + 2x + 3)) / 2 = x + 2x + 3.

Зверніть увагу, що ви не можете скорочувати будь-які члени - скорочуються тільки однакові множники, які присутні як в чисельнику, так і в знаменнику. Наприклад, у виразі (х (х + 2)) / х змінна (множник) «х» знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику, тому «х» можна скоротити і отримати спрощене вираз: (х + 2) / 1 = х + 2. Проте, в вираженні (х + 2) / х змінну «х» скорочувати не можна (так як в чисельнику «х» не є множником).

4. Розкрийте дужки. Для цього помножте член, що стоїть за дужки, на кожен член в дужках. Іноді це допомагає спростити складне вираз. Це відноситься як до членів, які є простими числами, так і до членів, які містять змінну.

Наприклад, 3 (x + 8) = 3x + 24, а 3x (x + 8) = 3x + 24x.

Зверніть увагу, що в дрібних виразах дужки розкривати не потрібно, якщо і в чисельнику, і в знаменнику присутній однаковий множник. Наприклад, у виразі (3 (x + 8)) / 3x дужки розкривати не потрібно, так як тут можна скоротити множник 3 і отримати спрощене вираз (x + 8) / x. З цим виразом легше працювати-якби ви розкрили дужки, то отримали б таке складне вираз: (3x + 24x) / 3x.

5. Розкладіть на множники многочлени. За допомогою цього методу можна спростити деякі вирази і многочлени. Розкладання на множники - це операція, протилежна розкриття дужок, тобто вираз записується у вигляді добутку двох виразів, кожне з яких укладено в дужки. У деяких випадках розкладання на множники дозволяє скоротити однакове вираз. В особливих випадках (як правило, з квадратними рівняннями) розкладання на множники дозволить вам вирішити рівняння.

Розглянемо вираз x - 5x + 6. Воно розкладається на множники: (x - 3) (x - 2). Таким чином, якщо, наприклад, дано вираз (x - 5x + 6) / (2 (x - 2)), то ви можете переписати його у вигляді (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2 )), скоротити вираз (х - 2) і отримати спрощене вираз (х - 3) / 2.

Розкладання многочленів на множники застосовується для вирішення (знаходження коренів) рівнянь (рівняння - це многочлен, прирівняний до 0). Наприклад, розглянемо рівняння x - 5x + 6 = 0. Розклавши його на множники, ви отримаєте (х - 3) (х - 2) = 0. Так як будь-який вираз, помножене на 0, дорівнює 0, то ми можемо записати так: х - 3 = 0 і х - 2 = 0. Таким чином, х = 3 і х = 2, тобто ви знайшли два кореня даного вам рівняння.