Як алгебраїчно знайти зворотну функцію: 5 кроків

Математичні функції, зазвичай позначаються як f (x) або g (x), можна уявити як порядок виконання математичних операцій, які дозволяють прийти від «x» до «y». Зворотна функція f (x) записується як f (x). У разі простих функцій знайти зворотну функцію нескладно.

кроки

1. Повністю перепишіть функцію, замінивши f (x) на y. При цьому «у» повинна перебувати на одній стороні функції, а «x» - на інший. Якщо вам дана функція виду 2 + y = 3x, вам необхідно ізолювати «у» на одному боці, а «x» - на інший.

приклад. Перепишемо цю функцію f (x) = 5x - 2 як y = 5x - 2. f (x) і «y» взаємозамінні.
f (x) - це стандартна запис функції, але якщо ви маєте справу з декількома функціями, то кожній з них потрібно буде привласнити свою букву, щоб їх було легше відрізняти один від одного. Наприклад, часто функції позначають як g (x) і h (x).

Зображення з назвою Algebraically Find the Inverse of a Function Step 02

2. Знайдіть «x». Іншими словами, виконайте математичні операції, необхідні для ізолювання «x» з одного боку від знака рівності. Основні алгебраїчні принципи: якщо «x» має числовий коефіцієнт, то розділіть обидві сторони функції на цей коеффіціент- якщо до члена з «x» додається деякий вільний член, відніміть його з обох сторін функції (і так далі).

Пам`ятайте, що ви можете застосовувати будь-яку операцію по відношенню до однієї зі сторін рівняння тільки в тому випадку, якщо ви застосовуєте ту ж операцію по відношенню до всіх членів по обидві сторони від знака рівності.

У нашому прикладі додайте 2 до обох частин рівняння. Ви отримаєте y + 2 = 5x. Потім розділіть обидві частини рівняння на 5 і отримаєте (y + 2) / 5 = x. І, нарешті, перепишіть рівняння з «x» в лівій частині: x = (y + 2) / 5.

Зображення з назвою Algebraically Find the Inverse of a Function Step 03

3. Поміняйте змінні, замінивши «x» на «y» і навпаки. Результатом буде функція, зворотна вихідної. Іншими словами, якщо ми підставимо значення «x» в вихідне рівняння і знайдемо значення «у», то, підставивши це значення «у» в зворотну функцію, ми отримаємо значення «x».

У нашому прикладі отримаємо y = (x + 2) / 5.

Зображення з назвою Algebraically Find the Inverse of a Function Step 04

4. Замініть «у» на f (x). Зворотні функції зазвичай записують у вигляді f (x) = (члени з «x»). Слід зазначити, що в даному випадку -1 - це не показательстепені- це просто позначення зворотної функції.

Так як «x» в -1 ступеня дорівнює 1 / x, то f (x) - це форма запису 1 / f (x), що також позначає функцію, зворотну f (x).

Зображення з назвою Algebraically Find the Inverse of a Function Step 05

5. Перевірте роботу, замість «x» підставивши постійне значення у вихідну функцію. Якщо ви правильно знайшли зворотну функцію, підставивши в неї значення «у», ви знайдете підставлену значення «x».

Наприклад, підставте x = 4. Ви получітеf (x) = 5 (4) - 2 або f (x) = 18.

Тепер підставте 18 в зворотну функцію і отримаєте y = (18 + 2) / 5 = 20/5 = 4. Тобто у = 4. Це підставлену значення «x», тому ви правильно знайшли зворотну функцію.

Поради

Коли ви виконуєте операції алгебри над функціями, ви можете вільно замінювати f (x) = y і f ^ (- 1) (x) = y в обох напрямках. Але пряма запис зворотної функції може призвести до плутанини, тому дотримуйтеся записи f (x) або f ^ (- 1) (x), яка допоможе вам відрізнити їх один від одного.
Зверніть увагу, що зворотна функція зазвичай (але не завжди) є функціональною залежністю.