Як знайти вершину

У математиці існує ряд завдань, в яких потрібно знайти вершину. Наприклад, вершину багатогранника, вершину або кілька вершин області системи нерівностей, вершину параболи або квадратного рівняння. Ця стаття розповість вам, як знайти вершину в різних завданнях.

кроки

Метод 1 з 5:

Пошук числа вершин багатогранника

1. теорема Ейлера. Теорема стверджує, що в будь-якому многограннике число його вершин плюс число його граней мінус число його ребер завжди дорівнює двом.

Формула, що описує теорему Ейлера: F + V - E = 2

F - число граней.
V - число вершин.
E - число ребер.

Зображення з назвою Find the Vertex Step 2

2. Перепишіть формулу, щоб знайти число вершин. Якщо вам дано число граней і число ребер багатогранника, ви можете швидко знайти число його вершин за допомогою формули Ейлера.

V = 2 - F + E

Зображення з назвою Find the Vertex Step 3

3. Підставте дані вам значення в цю формулу. В результаті ви отримаєте число вершин багатогранника.

Приклад: знайдіть число вершин багатогранника, у якого 6 граней і 12 ребер.

V = 2 - F + E

В = 2 - 6 + 12

V = -4 + 12

В = 8

Метод 2 з 5:

Пошук вершини області системи лінійних нерівностей

1. Побудуйте графік вирішення (області) системи лінійних нерівностей. У певних випадках на графіку можна побачити деякі або всі вершини області системи лінійних нерівностей. В іншому випадку вам доведеться знайти вершину алгебраїчно.

При використанні графічного калькулятора ви можете подивитися весь графік і знайти координати вершин.

Зображення з назвою Find the Vertex Step 5

2. Перетворіть нерівності в рівняння. Для того, щоб вирішити систему нерівностей (тобто знайти «х» і «у»), вам необхідно замість знаків нерівності поставити знак «дорівнює».

Приклад: дана система нерівностей:

у < х

у> - х + 4

Перетворіть нерівності в рівняння:

у = х

у = - х + 4

Зображення з назвою Find the Vertex Step 6

3. Тепер висловіть будь-яку змінну в одному рівнянні і підставте її в інше рівняння. У нашому прикладі підставте значення «у» з першого рівняння в друге рівняння.

приклад:

у = х

у = - х + 4

Підставляємо у = х в у = - х + 4:

х = - х + 4

Зображення з назвою Find the Vertex Step 7

4. Знайдіть одну із змінних. Зараз у вас є рівняння тільки з однією змінною «х», яку легко знайти.

Приклад: х = - х + 4

х + х = 4

2x = 4

2x / 2 = 4/2

х = 2

Зображення з назвою Find the Vertex Step 8

5. Знайдіть іншу змінну. Підставте знайдене значення «х» в будь-який з рівнянь і знайдіть значення «у».

Приклад: у = х

у = 2

Зображення з назвою Find the Vertex Step 9

6. Знайдіть вершину. Вершина має координати, рівні знайденим значенням «х» і «у».

Приклад: вершина області даної системи нерівностей є точка О (2,2).

Метод 3 з 5:

Пошук вершини параболи через вісь симетрії

1. Розкладіть рівняння на множники. Є кілька способів розкладання квадратного рівняння на множники. В результаті розкладання ви отримуєте два двочлена, які при перемножуванні приведуть до вихідного рівняння.

Приклад: дано квадратне рівняння

3x2 - 6x - 45
Спочатку винесіть за дужки загальний множник: 3 (x2 - 2x - 15)
Перемножте коефіцієнти «а» і «с»: 1 * (-15) = -15.
Знайдіть два числа, результат множення яких дорівнює -15, а їх сума дорівнює коефіцієнту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15- 3 - 5 = -2.
Підставте знайдені значення в рівняння ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15).
Розкладіть вихідне рівняння: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)

Зображення з назвою Find the Vertex Step 11

2. Знайдіть точку (точки), в якій графік функції (в даному випадку парабола) перетинає вісь абсцис. Графік перетинає вісь Х при f (x) = 0.

Приклад: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0

х +3 = 0

х - 5 = 0

х = -3- х = 5

Таким чином, коріння рівняння (або точки перетину з віссю Х): А (-3, 0) і В (5, 0)

Зображення з назвою Find the Vertex Step 12

3. Знайдіть вісь симетрії. Вісь симетрії функції проходить через точку, що лежить посередині між двома країнами. При цьому вершина лежить на осі симетрії.

Приклад: х = 1 це значення лежить посередині між -3 і +5.

Зображення з назвою Find the Vertex Step 13

4. Підставте значення «х» в вихідне рівняння і знайдіть значення «у». Ці значення «х» і «у» - координати вершини параболи.

Приклад: у = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48

Зображення з назвою Find the Vertex Step 14

5. Запишіть відповідь.

Приклад: вершина даного квадратного рівняння є точка О (1, -48)

Метод 4 з 5:

Пошук вершини параболи через додаток до повного квадрата

1. Перепишіть вихідне рівняння у вигляді: y = a (x - h) ^ 2 + k, при цьому вершина лежить в точці з координатами (h, k). Для цього потрібно доповнити вихідне квадратне рівняння до квадрата.

Приклад: дана квадратична функція у = - х ^ 2 - 8x - 15.

Зображення з назвою Find the Vertex Step 16

2. Розгляньте перші два члена. Винесіть за дужки коефіцієнт першого члена (при цьому вільний член ігнорується).

Приклад: -1 (х ^ 2 + 8x) - 15.

Зображення з назвою Find the Vertex Step 17

3. Розкладіть вільний член (-15) на два числа так, щоб одне з них доповнило вираз в дужках до повного квадрата. Одне з чисел має дорівнювати квадрату половини коефіцієнта другого члена (з виразу в дужках).

Приклад: 8/2 = 4 4 * 4 = 16- тому

-1 (х ^ 2 + 8x + 16)

-15 = -16 + 1

у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1

Зображення з назвою Find the Vertex Step 18

4. Спростіть рівняння. Так як вираз в дужках є повний квадрат, можна переписати це рівняння в наступному вигляді (якщо необхідно, проведіть операції додавання і віднімання за дужками):

Приклад: у = -1 (х + 4) ^ 2 + 1

Зображення з назвою Find the Vertex Step 19

5. Знайдіть координати вершини. Нагадаємо, що координати вершини функції виду y = a (x - h) ^ 2 + k рівні (h, k).

к = 1

h = -4

Таким чином, вершина вихідної функції є точка О (-4,1).

Метод 5 з 5:

Пошук вершини параболи за простою формулою

1. Знайдіть координату «х» за формулою:x = -b / 2a (для функції виду y = ax ^ 2 + bx + c). Підставте значення «a» і «b» в формулу і знайдіть координату «х».