Як вирішувати тригонометричні рівняння: 8 кроків

Тригонометричне рівняння містить одну або кілька тригонометричних функцій змінної «х» (або будь-який інший змінної). Рішення тригонометричного рівняння - це знаходження такого значення «х», яке задовольняє функції (функцій) і рівняння в цілому.

Рішення тригонометричних рівнянь виражаються в градусах або радіанах. приклади:

х = π / 3-х = 5π / 6 х = 3π / 2-х = 45 градусів-х = 37,12 градусів-х = 178,37 градусів.

Примітка: значення тригонометричних функцій від кутів, виражених в радіанах, і від кутів, виражених в градусах, рівні. Тригонометрична окружність з радіусом, рівним одиниці, служить для опису тригонометричних функцій, а також для перевірки правильності рішення основних тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Приклади тригонометричних рівнянь:

sin x + sin 2x = 1/2-tg x + ctg x = 1,732;
cos 3x + sin 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Тригонометрична окружність з радіусом, рівним одиниці (одинична окружність).
Це коло з радіусом, рівним одиниці, і центром в точці O. Одиничне коло описує 4 основні тригонометричні функції змінної «х», де «х» - кут, відлічуваний від позитивного напрямку осі Х проти годинникової стрілки.
Якщо «х» - деякий кут на одиничному колі, то:
Горизонтальна вісь OAх визначає функцію F (х) = соs х.
Вертикальна вісь OВy визначає функцію F (х) = sin х.
Вертикальна вісь AT визначає функцію F (х) = tg х.
Горизонтальна вісь BU визначає функцію F (х) = сtg х.

Одиничне коло також застосовується при вирішенні основних тригонометричних рівнянь і нерівностей (на ній розглядаються різні положення «х»).

кроки

1. Концепція рішення тригонометричних рівнянь.

Для вирішення тригонометричного рівняння перетворіть його в одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння в кінцевому підсумку зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 2

2. Рішення основних тригонометричних рівнянь.

Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:

sin x = a- cos x = a

tg x = a- ctg x = a

Рішення основних тригонометричних рівнянь має на увазі розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).

приклад 1. sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор), ви отримаєте відповідь: х = π / 3. Одиничне коло дає ще один відповідь: 2π / 3. Запам`ятайте: все тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x і cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x і ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується в такий спосіб:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

приклад 2. соs х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор), ви отримаєте відповідь: х = 2π / 3. Одиничне коло дає ще один відповідь: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π- х2 = -2π / 3 + 2π.

приклад 3. tg (x - π / 4) = 0.

Відповідь: х = π / 4 + πn.

приклад 4. ctg 2x = 1,732.

Відповідь: х = π / 12 + πn.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 3

3. Перетворення, які використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь.

Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються алгебраїчні перетворення (розкладання на множники, приведення однорідних членів і т.д.) І трігонометріческіетождества.

приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється в рівняння 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0 sin (3x / 2) = 0 cos (x / 2) = 0.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 4

4. Знаходження угловпо відомими значеннями функцій.

Перед вивченням методів вирішення тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення або калькулятора.

Приклад: соs х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь х = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 5

5. Відкладіть вирішення на одиничному колі.

Ви можете відкласти решеніятрігонометріческого уравненіяна одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі представляють собою вершини правильного багатокутника.

Приклад: Рішення x = π / 3 + πn / 2на одиничному колі представляють собою вершини квадрата.

Приклад: Рішення x = π / 4 + πn / 3на одиничному колі представляють собою вершини правильного шестикутника.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 6

6. Методи рішення тригонометричних рівнянь.

Якщо дане тригонометрическое рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, вирішите це рівняння як основне тригонометрическое рівняння. Якщо дане рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують 2 методи вирішення такого рівняння (в залежності від можливості його перетворення).

метод 1.

Перетворіть дане рівняння в рівняння виду: f (x) * g (x) * h (x) = 0, де f (x), g (x), h (x) -основні тригонометричні рівняння.

приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < з>

Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2 * sin х * соs х, замініть sin 2x.

2 соs х + 2 * sin х * cos х = 2cos х * (sin х + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.

приклад 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < з>

Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, преобразуйтеданное рівняння в рівняння виду: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.

приклад 8.sin x - sin 3x = cos 2x .(0 < з>

Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, преобразуйтеданное рівняння в рівняння виду: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.

метод 2.

Перетворіть дане тригонометрическое рівняння в рівняння, що містить тільки одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t і т.д.).

приклад 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < з>

Рішення. В даному рівнянні замініть (cos ^ 2 x) на (1 - sin ^ 2 x) (згідно тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin х на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два кореня: t1 = -1 і t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1 < sin>

приклад 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2

Рішення. Заменітеtg x на t. Перепишіть вихідне рівняння в наступному вигляді: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 7

7. Особливі тригонометричні рівняння.

Є кілька особливих тригонометричних рівнянь, які вимагають конкретних перетворень. приклади:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Зображення з назвою Solve Trigonometric Equations Step 8

8. Періодичність тригонометричних функцій.

Як згадувалося раніше, всетрігонометріческіе функції є періодичними, тобто їх значення повторюються через певний період. приклади:

Період функції f (x) = sin x дорівнює 2π.

Період функцііf (x) = tg x дорівнює π.

Період функції f (x) = sin 2x дорівнює π.

Період функцііf (x) = cos (x / 2) дорівнює 4π.

Якщо період вказано в завданні, обчисліть значення «х» в межах цього періоду.

Примітка: рішення трігонометріческіхуравненій - непросте завдання, яке часто призводить до помилок. Тому ретельно перевіряйте відповіді. Для цього можна використовувати графічний калькулятор, щоб побудувати графік даного рівняння R (х) = 0. У таких випадках рішення будуть представлені у вигляді десяткових дробів (тобто π замінюється на 3,14).