Як знайти зворотну функцію: 4 кроків (з ілюстраціями)

Однією з найважливіших складових алгебри є поняття зворотної функції. Зворотній функції позначається як f ^ -1 (х) і графічно представляється як відображати в часі вихідної функції відносно прямої у = х. У цій статті ми розповімо вам, як знайти зворотну функцію.

кроки

1. Переконайтеся, що дана функція биективное. Тільки биективное функції мають зворотні функції.

Функція биективное, якщо вона проходить тест вертикальної і горизонтальної прямими. Проведіть вертикальну пряму через графік функції і підрахуйте кількість разів, яке пряма перетинає графік функції. Потім проведіть горизонтальну пряму через графік функції і підрахуйте кількість разів, яке пряма перетинає графік функції. Якщо кожна пряма перетинає графік функції тільки один раз, то функція биективное.

Якщо графік не проходить тест вертикальної прямої, то він не заданий функцією.

Для алгебраїчного визначення биективное функції підставте f (а) і f (b) в дану функцію і визначте, чи виконується рівність a = b. Як приклад розглянемо функцію f (x) = 3x + 5.

f (a) = 3a + 5 f (b) = 3b + 5

3a + 5 = 3b + 5

3a = 3b

a = b

Таким чином, дана функція биективное.

Зображення з назвою Find the Inverse of a Function Step 2

2. У даній функції поміняйте місцями «х» і «у». Пам`ятайте, що f (х) - інше написання «у».

"f (x)" або "y" являє собою функцію, а "х" - змінну. Щоб знайти зворотну функцію, потрібно поміняти місцями функцію і змінну.

Приклад: розглянемо функцію f (x) = (4x + 3) / (2x + 5), яка є биективное. Помінявши місцями «х» і «у», отримаєте x = (4y + 3) / (2y + 5).

Зображення з назвою Find the Inverse of a Function Step 3

3. Знайдіть «у». Вирішіть нове рівняння і знайдіть «у».

Можливо, щоб знайти значення виразу і спростити його, вам знадобляться алгебраїчні прийоми на кшталт множення дробів або розкладання на множники.

Рішення нашого прикладу:

х = (4y + 3) / (2y + 5)

х (2y + 5) = 4y + 3 - позбудьтеся від дробу. Для цього помножте обидві частини рівняння на знаменник дробу (2у + 5).

2xy + 5x = 4y + 3 - розкрийте дужки.

2xy - 4y = 3 - 5x - перенесіть всі члени зі змінною (в даному випадку це «у») на одну сторону рівняння.

у (2x - 4) = 3 - 5x - винесіть «у» за дужку.

у = (3 - 5x) / (2x - 4) - розділіть обидві частини рівняння на (2х-4), щоб отримати остаточну відповідь.

4. Замініть «у» на f ^ -1 (х). Це є зворотна функція для вихідної функції.

Відповідь: f ^ -1 (x) = (3 - 5x) / (2x - 4). Це зворотна функція для f (х) = (4x + 3) / (2x + 5) .