Як продифференцировать неявну функцію: 7 кроків

Коли вам дана явна функція, у якій залежна змінна відособлена на одній стороні від знака рівності (наприклад, y = x -3x), то ви запросто можете продифференцировать її (тобто знайти її похідну). Але неявні функції (наприклад, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), в яких відокремити залежну змінну не так просто, диференціюють по іншому.

кроки

Метод 1 з 2:

Знаходження похідної простий функції

1. На обох сторонах функції знайдіть (стандартним способом) похідні членів, що містять незалежну змінну «х», і похідні вільних членів. На цьому етапі члени, що містять залежну змінну «у», поки не чіпайте. Наприклад, дана функція x + y - 5x + 8y + 2xy = 19.

У нашому прикладі x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 є два члена зі змінною «х»: x і -5x. Знайдіть їх похідні:
x + y - 5x + 8y + 2xy = 19
(Показник ступеня 2 в x зробіть множником, в -5x позбудьтеся від «х», а похідна 19 дорівнює 0)
2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Зображення з назвою Do Implicit Differentiation Step 2

2. Тепер візьміть похідні від членів зі змінною «у» і припишіть до них (dy / dx). Наприклад, при знаходженні похідної членаy запишіть її так: 2y (dy / dx). На цьому етапі члени, що містять обидві змінні («х» і «у»), поки не чіпайте.

У нашому прикладі 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0 продіфференціруйте члени y і 8y:

2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

(Показник ступеня 2 в у зробіть множником, а в 8У позбудьтеся від «у» - потім припишіть до отриманих похідним dx / dy)

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Зображення з назвою Do Implicit Differentiation Step 3

3. Для знаходження похідної члена, що містить твір двох змінних («х» і «у»), скористайтеся правилом диференціювання добутку функцій: (F × g) `= f` × g + g × f `, де замість f підставте «х», а замість g - «у». З іншого боку, для знаходження похідної члена, що містить частка двох змінних («х» і «у»), скористайтеся правилом диференціювання частки функцій: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, де замість f підставте «х», а замість g - «у» (або навпаки в залежності від даної вам функції).

У нашому прикладі 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2ху = 0 є один член з обома змінними: 2xy. Так як тут змінні перемножуються, скористайтеся правилом диференціювання добутку функцій:

2xy = (2x) (y) - нехай 2x = f і y = g в (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

(F × g) `= 2y + 4xy (dy / dx)

Додайте ці члени в основну функцію і отримаєте: 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

Зображення з назвою Do Implicit Differentiation Step 4

4. Обособьте (dy / dx). Майте на увазі, що будь-які два члена «а» і «b», які множаться на (dy / dx), можна записати у вигляді (a + b) (dy / dx). Для відокремлення (dy / dx) перенесіть всі члени без (dy / dx) на одну сторону від знака рівності, а потім розділіть їх на члени, які стоять в дужках у (dy / dx).

У нашому прикладі 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0:

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Метод 2 з 2:

просунуті методи

1. Підставте значення (x, y), щоб знайти (dy / dx) для будь-якої точки. Відокремити (dy / dx), ви знайшли похідну неявної функції. Використовуючи цю похідну, ви можете знайти кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці (х, у), просто підставивши в знайдену похідну координати «х» і «у».

Наприклад, необхідно знайти кутовий коефіцієнт дотичної в точці А (3, -4). Для цього в похідну замість «х» підставте 3, а замість «у» підставте -4:
(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(Dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(Dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Зображення з назвою Do Implicit Differentiation Step 6

2. Скористайтеся ланцюговим правилом диференціювання складних функцій: якщо функцію F (x) можна записати у вигляді (f про g) (x), похідна F (x) дорівнює f `(g (x)) g` (x). Це означає, що похідну композиції двох і більше функцій можна обчислити на основі індивідуальних похідних.

Приклад: знайдіть похідну sin (3x + x). В цьому випадку позначимо sin (3x + x) як "f (x)" і 3x + x як "g (x)".

f `(g (x)) g` (x)

(Sin (3x + x)) `× (3x + x)`

cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Зображення з назвою Do Implicit Differentiation Step 7

3. Якщо функція містить змінні «х», «у», «z», знайдіть (dz / dx) і (Dz / dy). Тобто якщо функція містить більше двох змінних, для кожної додаткової змінної необхідно знайти додаткову похідну по «х». Наприклад, якщо функція містить змінні «х», «у», «z», потрібно знайти (dz / dx) і (dz / dy). Ви можете зробити це, продифференцировав функцію по «х» двічі - в перший раз допишіть (dz / dx) у кожного Продиференціювали члена з «z», а вдруге допишіть (dz / dy) при диференціюванні «z». Після цього просто обособьте (dz / dx) і (dz / dy).

Наприклад, знайдіть похідну xz - 5xyz = x + y.

По-перше, продіфференціруйте по «х» і допишіть (dz / dx). Не забудьте застосувати правило знаходження похідної добутку функцій.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

(2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

(Dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

Тепер виконайте те ж саме для (dz / dy):

xz - 5xyz = x + y

2хз (дз / до) - 25хоз - 5хи (дз / до) = зи

(2хз - 5хи) (дз / до) = зи + 25хоз

(Дз / до) = (зи + 25хоз) / (2хз - 5хи)