Як знайти область визначення і область значень функції

У кожній функції є дві змінні - незалежна змінна і залежна змінна, значення якої залежать від значень незалежної змінної. Наприклад, в функції і = ф(з) = 2з + і незалежної змінної є «х», а залежною - «у» (іншими словами, «у» - це функція від «х»). Допустимі значення незалежної змінної «х» називаються областю визначення функції, а допустимі значення залежної змінної «у» називаються областю значень функції.

кроки

Частина 1 з 3:

Знаходження області визначення функції

1. Визначте тип даної вам функції. Областю значень функції є всі допустимі значення «х» (відкладаються по горизонтальній осі), яким відповідають допустимі значення «у». Функція може бути квадратичної або містити дробу або коріння. Для знаходження області визначення функції спочатку необхідно визначити тип функції.

Квадратична функція має вигляд: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
Функція, що містить дріб: f (x) = (/_з), F (x) = /_{(X - 1)} (і так далі).
Функція, що містить корінь: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √x (і так далі).

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 2

2. Виберіть відповідний запис для області визначення функції. Область визначення записується в квадратних і / або круглих дужках. Квадратна дужка застосовується в тому випадку, коли значення входить в область визначення функції-якщо значення не входить в область визначення, використовується кругла дужка. Якщо у функції кілька несуміжних областей визначення, між ними ставиться символ «U».

Наприклад, область визначення [-2,10) U (10,2] включає значення -2 і 2, але не включає значення 10.

З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 3

3. Побудуйте графік квадратичної функції. Графік такої функції є параболу, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Так як парабола зростає або убуває на всій осі Х, то областю визначення квадратичної функції є всі дійсні числа. Іншими словами, областю визначення такої функції є безліч R (R позначає всі дійсні числа).

Для кращого з`ясування поняття функції виберіть будь-яке значення «х», підставте його в функцію і знайдіть значення «у». Пара значень «х» і «у» представляють собою точку з координатами (х, у), яка лежить на графіку функції.

Нанесіть цю точку на площину координат і виконайте описаний процес з іншим значенням «х».

Завдавши на площину координат кілька точок, ви отримаєте загальне уявлення про форму графіка функції.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 4

4. Якщо функція містить дріб, прирівняти її знаменник до нуля. Пам`ятайте, що ділити на нуль не можна. Тому, прирівнявши знаменник до нуля, ви знайдете значення «х», які не входять в область визначення функції.

Наприклад, знайдіть область визначення функції f (x) = /_{(X - 1)}.

Тут знаменник: (х - 1).

Прирівняти знаменник до нуля і знайдіть «х»: х - 1 = 0 х = 1.

Запишіть область визначення функції. Область визначення не включає 1, тобто включає всі дійсні числа за винятком 1. Таким чином, область визначення функції: (-∞, 1) U (1, ∞).

Запис (-∞, 1) U (1, ∞) читається так: безліч всіх дійсних чисел за винятком 1. Символ нескінченності ∞ означає всі дійсні числа. У нашому прикладі всі дійсні числа, які більше 1 і менше 1, включені в область визначення.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 5

5. Якщо функція містить квадратний корінь, то подкоренное вираз має бути більше або дорівнює нулю. Пам`ятайте, що квадратний корінь з від`ємних чисел не витягується. Тому будь-яке значення «х», при якому подкоренное вираз стає негативним, потрібно виключити з області визначення функції.

Наприклад, знайдіть область визначення функції f (x) = √ (x + 3).

Подкоренное вираз: (х + 3).

Подкоренное вираз має бути більше або дорівнює нулю: (х + 3) ≥ 0.

Знайдіть «х»: х ≥ -3.

Область визначення цієї функції включає безліч всіх дійсних чисел, які більші або рівні -3. Таким чином, область визначення: [-3, ∞).

Частина 2 з 3:

Знаходження області значень квадратичної функції

1. Переконайтеся, що вам дана квадратична функція. Квадратична функція має вигляд: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Графік такої функції є параболу, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Існують різні методи знаходження області значень квадратичної функції.

Найпростіший спосіб знайти область значень функції, що містить корінь або дріб, - це побудувати графік такої функції за допомогою графічного калькулятора.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 7

2. Знайдіть координату «х» вершини графіка функції. У разі квадратичної функції знайдіть координату «х» вершини параболи. Пам`ятайте, що квадратична функція має вигляд: ax + bx + c. Для обчислення координати «х» скористайтеся наступним рівнянням: х = -b / 2a. Це рівняння є похідною від основної квадратичної функції і описує дотичну, кутовий коефіцієнт якої дорівнює нулю (дотична до вершини параболи паралельна осі Х).

Наприклад, знайдіть область значень 3x + 6x -2.

Обчисліть координату «х» вершини параболи: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 8

3. Знайдіть координату «у» вершини графіка функції. Для цього в функцію підставте знайдену координату «х». Шукана координата «у» являє собою граничне значення області значень функції.

Обчисліть координату «у»: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5

Координати вершини параболи цієї функції: (-1, -5).

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 9

4. Визначте напрям параболи, підставивши в функцію принаймні одне значення «х». Виберіть будь-яке інше значення «х» і підставте його в функцію, щоб обчислити відповідне значення «у». Якщо знайдене значення «у» більше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вгору. Якщо ж знайдене значення «у» менше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вниз.

Підставте в функцію х = -2: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.

Координати точки, що лежить на параболі: (-2, -2).

Знайдені координати свідчать про те, що гілки параболи спрямовані вгору. Таким чином, область значень функції включає всі значення «у», які більше або дорівнюють -5.

Область значень цієї функції: [-5, ∞)

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 10

5. Область значень функції записується аналогічно області визначення функції. Квадратна дужка застосовується в тому випадку, коли значення входить в область значень функції-якщо значення не входить в область значень, використовується кругла дужка. Якщо у функції кілька несуміжних областей значень, між ними ставиться символ «U».

Наприклад, область значень [-2,10) U (10,2] включає значення -2 і 2, але не включає значення 10.

З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.

Частина 3 з 3:

Знаходження області значень функції з її графіком

1. Побудуйте графік функції. У багатьох випадках простіше знайти область значень, побудувавши її графік. Областю значень багатьох функцій з корінням є (-∞, 0] або [0, + ∞), так як вершина параболи, спрямованої вправо або вліво, лежить на осі Х. В цьому випадку область значень включає всі позитивні значення «у», якщо парабола зростає, або все негативні значення «у», якщо парабола убуває. Функції з дробом мають асимптоти, які визначають область значень.

Вершини графіків деяких функцій з корінням лежать вище або нижче осі Х. В цьому випадку область значень визначається координатою «у» вершини параболи. Якщо, наприклад, координата «у» вершини параболиравна -4 (у = -4), а парабола зростає, то область значень дорівнює [-4, + ∞).
Найпростіший спосіб побудувати графік функції - це скористатися графічним калькулятором або спеціальним програмним забезпеченням.
Якщо у вас немає графічного калькулятора, побудуйте приблизний графік, підставивши в функцію кілька значень «х» і обчисливши відповідні значення «у». Нанесіть знайдені точки на координатну площину, щоб отримати загальне уявлення про форму графіка.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 12

2. Знайдіть мінімум функції. Побудувавши графік функції, ви побачите на ньому точку, в якій функція має мінімальне значення. Якщо наочного мінімуму немає, то він не існує, а графік функції йде в -∞.

Область значень функції включає всі значення «у» за винятком значень асимптот. Найчастіше, області значень таких функцій записуються так: (-∞, 6) U (6, ∞).

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 13

3. Визначте максимум функції. Побудувавши графік функції, ви побачите на ньому точку, в якій функція має максимальне значення. Якщо наочного максимуму немає, то він не існує, а графік функції йде в + ∞.

Зображення з назвою Find the Domain and Range of a Function Step 14

4. Область значень функції записується аналогічно області визначення функції. Квадратна дужка застосовується в тому випадку, коли значення входить в область значень функції-якщо значення не входить в область значень, використовується кругла дужка. Якщо у функції кілька несуміжних областей значень, між ними ставиться символ «U».

Наприклад, область значень [-2,10) U (10,2] включає значення -2 і 2, але не включає значення 10.

З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.