Як знайти рівняння асимптот гіперболи: 10 кроків

Асимптоти гіперболи - це прямі, що проходять через центр гіперболи. Гіпербола наближається до асимптотам, але ніколи не перетинає (і навіть не стосується) їх. Знайти рівняння асимптот можна двома способами, які допоможуть зрозуміти саму концепцію асимптот.

кроки

Метод 1 з 2:

Розкладання на множники

1. Запишіть канонічне рівняння гіперболи. Розглянемо найпростіший приклад - гіперболу, центр якої розташований на початку координат. В цьому випадку канонічне рівняння гіперболи має вигляд: /_а - /_в = 1 (Коли гілки гіперболи спрямовані вправо або вліво) або /_в - /_а = 1 (Коли гілки гіперболи спрямовані вгору або вниз). Майте на увазі, що в цьому рівнянні «х» і «у» - це змінні, а «а» і «b» - постійні (тобто числа).

Приклад 1: /_я - /₁₆ = 1
Деякі викладачі і автори підручників міняють місцями постійні «а» і «b». Тому вивчіть дане вам рівняння, щоб зрозуміти, що до чого. Не варто просто запам`ятовувати рівняння - в цьому випадку ви нічого не зрозумієте, якщо змінні і / або постійні будуть позначені іншими символами.

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 2

2. Прирівняти канонічне рівняння до нуля (а не до одиниці). Нове рівняння описує обидві асимптоти, але щоб отримати рівняння кожної асимптоти, доведеться докласти деяких зусиль.

Приклад 1: /_я - /₁₆ = 0

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 3

3. Розкладіть на множники нове рівняння.Розкладіть на множники ліву частину рівняння. Згадайте, як розкладати на множники квадратне рівняння, і читайте далі.

Кінцеве рівняння (тобто рівняння, розкладене на множники) матиме вигляд (__ ± __) (__ ± __) = 0.

При перемножуванні перших членів (всередині кожної пари дужок) повинен вийти член /_я, тому з цього члена витягніть квадратний корінь, і результат запишіть замість першого пробілу всередині кожної пари дужок:(/₃ ± __) (/₃ ± __) = 0

Аналогічно витягніть квадратний корінь з члена /₁₆, і результат запишіть замість другого пробілу всередині кожної пари дужок: (/₃ ± /₄) (/₃ ± /₄) = 0

Ви знайшли всі члени рівняння, тому всередині однієї пари дужок між членами напишіть знак плюс, а всередині другий - знак мінус, щоб при перемножуванні відповідні члени скорочувалися: (/₃ + /₄) (/₃ - /₄) = 0

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 4

4. Прирівняти кожен двочлен (тобто вираз всередині кожної пари дужок) до нуля і обчисліть «y». Так ви знайдете два рівняння, які описують кожну асимптоту.

Приклад 1: Так як (/₃ + /₄) (/₃ - /₄) = 0, то /₃ + /₄ = 0 і /₃ - /₄ = 0

Перепишіть рівняння таким чином: /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃

Перепишіть рівняння таким чином: /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 5

5. Далі виконуйте дії з гіперболою, рівняння якої відрізняється від канонічного. У попередньому кроці ви знайшли рівняння асимптот гіперболи з центром на початку координат. Якщо центр гіперболи знаходиться в точці з координатами (h, k), то вона описується таким рівнянням: /_а - /_в = 1 або /_в - /_а = 1. Це рівняння також можна розкласти на множники. Але в цьому разі не чіпайте двочлен (x - h) і (y - k) до тих пір, поки не прийдете до останнього кроку.

приклад 2: /₄ - /₂₅ = 1

Прирівняти це рівняння до 0 і розкладіть його на множники:

(/₂ + /₅) (/₂ - /₅) = 0

Прирівняти кожен двочлен (тобто вираз всередині кожної пари дужок) до нуля і обчисліть «y», щоб знайти рівняння асимптот:

/₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂

(/₂ - /₅) = 0 → y = /₂x - /₂

Метод 2 з 2:

обчислення Y

1. Обособьте член y на лівій стороні рівняння гіперболи. Застосовуйте цей метод в тому випадку, коли рівняння гіперболи дано в квадратичної формі. Навіть якщо дано канонічне рівняння гіперболи, цей метод дозволить краще зрозуміти концепцію асимптот. Обособьте y або (y - k) на лівій стороні рівняння.

Приклад 3: /₁₆ - /₄ = 1
До обох частин рівняння додайте «х», а потім помножте обидві частини на 16:
(Y + 2) = 16 (1 + /₄)
Спростіть отримане рівняння:
(Y + 2) = 16 + 4 (x + 3)

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 7

2. Вийміть квадратний корінь з кожної частини рівняння. При цьому не спрощуйте праву частину рівняння, так як при добуванні квадратного кореня виходять два результату - позитивний і негативний (наприклад, -2 * -2 = 4, тому √4 = 2 і √4 = -2). Щоб привести обидва результату, використовуйте символ ±.

√ ((y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))

(Y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 8

3. Усвідомте поняття асимптоти. Зробіть це до того, як перейти до наступного кроку. Асимптота - це пряма, до якої наближається гіпербола з ростом значень «х». Гіпербола ніколи не перетне асимптоту, але зі збільшенням «х» гіпербола наблизиться до асимптоти на нескінченно малу відстань.

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 9

4. Перетворіть рівняння з урахуванням великих значень «х». Як правило, при роботі з рівняннями асимптот враховуються тільки великі значення «х» (тобто такі значення, які прагнуть до нескінченності). Тому в рівнянні можна знехтувати певними константами, так як у порівнянні з «х» їх внесок невеликий. Наприклад, якщо змінна «х» дорівнює кільком мільярдам, то поповнення числа (константи) 3 надасть мізерне вплив на значення «х».

У рівнянні (Y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)) при прагненні «x» до нескінченності постійної 16 можна знехтувати.

При великих значеннях «х» (Y + 2) ≈ ± √ (4 (x + 3))

Зображення з назвою Find the Equations of the Asymptotes of a Hyperbola Step 10

5. Обчисліть «у», щоб знайти рівняння асимптот. Позбувшись від констант, можна спростити подкоренное вираз. Пам`ятайте, що у відповіді потрібно записати два рівняння - одне зі знаком плюс, а друге зі знаком мінус.

y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)

y + 2 = ± 2 (x + 3)

y + 2 = 2x + 6 і y + 2 = -2x - 6

y = 2x + 4 і y = -2x - 8

Поради

Пам`ятайте, що рівняння гіперболи і рівняння її асимптот завжди включають постійні (константи).
Рівнобічна гіпербола - це гіпербола, в рівнянні якої а = b = с (константа).
Якщо дано рівняння рівносторонній гіперболи, спочатку перетворіть його в канонічну форму, а потім знайдіть рівняння асимптот.

попередження

Пам`ятайте, що відповідь не завжди записується в канонічній формі.