Як вирішувати лінійні рівняння з багатьма змінними

Лінійне рівняння з багатьма змінними - це рівняння, що містить дві або більше змінні (як правило, «х» і «у»). Є кілька способів вирішити ці рівняння, включаючи метод виключення і метод підстановки.

кроки

Метод 1 з 3:

лінійні рівняння

1. Два (або більше) об`єднаних лінійних рівняння називаються системою лінійних рівнянь.наприклад:

8x - 3y = -3
5x - 2y = -1
Це система лінійних рівнянь. Обидва рівняння включаються в процес знаходження «х» і «у».

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 2

2. Рішення системи рівнянь - це деякі числа, при підстановці яких замість змінних кожне з рівнянь звертається в вірне рівність.

Потрібно знайти «х» і «у». У нашому прикладі х = -3 і у = -7. Підставте ці значення в рівняння системи: 8 (-3) - 3 (-7) = -3- -3 = -3 - рівність дотримано. 5 (-3) - 2 (-7) = -1- -1 = -1 - рівність дотримано.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 3

3. Коефіцієнт - це множник (число) при змінної.Ви будете використовувати коефіцієнти в методі виключення. У нашому прикладі коефіцієнтами є:

8 і 3 в першому уравненіі- 5 і 2 в другому рівнянні.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 4

4. Метод виключення полягає в позбавленні від однієї з змінних (наприклад, від «х») і знаходженні іншої змінної ( «у»). Знайшовши «у», ви підставляєте цю змінну в будь-який з рівнянь і знаходите «х».

Метод підстановки полягає в відокремленні однієї з змінних в одному з рівнянь і її підстановки в інше рівняння. Знайшовши одну з змінних, ви підставляєте її в будь-який з рівнянь і знаходите другу змінну.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 5

5. Рівняння з трьома змінними вирішуються аналогічно рівнянням з двома змінними (тими ж методами).

Метод 2 з 3:

виняток

1. Розглянемо приклад:

8x - 3y = -3
5x - 2y = -1

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 7

2. Для виключення змінної її коефіцієнт в обох рівняннях повинен бути рівним (при цьому знаки у коефіцієнта можуть бути протилежними, наприклад, 5 і -5). Мета - скласти / відняти два рівняння і при цьому позбавитися від однієї з змінних (наприклад, 5 + (-5) = 0). наприклад:

Помножте рівняння 8x - 3y = -3 на 2 і отримаєте 16x - 6У = -6.

Умножьтеуравненіе 5x - 2y = -1 на 3 та отримаєте 15x - 6У = -3

Таким чином, ви отримали -6у в обох рівняннях.

3. Складіть або відніміть обидва рівняння. Якщо знаки у коефіцієнта однакові - віднімайте, якщо протилежні - складайте. У нашому прикладі необхідно відняти рівняння (так як -6 = -6).

(16x - 6У = -6) - (15x - 6У = -3) = 1x = -3. Тому х = -3.

Якщо коефіцієнт при «х" не дорівнює 1, розділіть обидві сторони рівності на цей коефіцієнт, щоб знайти «х».

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 9

4. Підставте знайдене значення змінної в будь-яке рівняння системи, щоб знайти другу змінну (у нашому прикладі підставте х = -3 в друге рівняння і знайдіть «у»).

5 (-3) - 2y = -1- -15 - 2y = -1- -2у = 14. Розділіть обидві сторони рівності на -2 і отримаєте у = -7.

Відповідь: х = -3 і у = -7.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 10

5. Перевірте відповідь, підставивши знайдені значення змінних в обидва рівняння. Якщо одне з рівнянь не звертається до рівність, то перевірте ваші обчислення.

8 (-3) - 3 (-7) = -3- -3 = -3 - вірно.

5 (-3) - 2 (-7) = -1- -1 = -1 - вірно.

Таким чином, ви отримали правильну відповідь.

Метод 3 з 3:

підстановка

1. У будь-якому рівнянні обособьте будь-яку змінну на одній стороні рівняння (для спрощення обчислень виберіть те рівняння, з яким легше працювати). Наприклад, якщо в одному з рівнянь коефіцієнт при змінної дорівнює 1 (наприклад, х - 3у = 7), виберіть це рівняння. Розглянемо приклад:

х - 2y = 10
-3x -4y = 10
У цьому випадку виберіть рівняння х - 2у = 10, тому що в ньому коефіцієнт при «х» дорівнює 1.
Обособьте «х», перенісши 2у на іншу сторону рівняння: х = 10 + 2y.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 12

2. Підставте знайдене «х» в інше рівняння і знайдіть «у».

Підставте х = 10 + 2y в рівняння -3x -4y = 10: -3 (10 + 2y) -4y = 10.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 13

3. Знайдіть другу змінну (в нашому випадку «у»).

-3 (10 + 2y) - 4y = 10 -30 - 6У - 4y = 10.

-30 - 10у = 10.

Перенесіть -30 на іншу сторону рівняння і отримаєте: -10y = 40.

у = -4.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 14

4. Знайдіть першу змінну (в нашому випадку «х»). Для цього підставте знайдене значення «у» в будь-яке рівняння системи.

Підставте у = -4 в рівняння х - 2y = 10: х - 2 (-4) = 10.

х + 8 = 10.

х = 2.

Зображення з назвою Solve Multivariable Linear Equations in Algebra Step 15

2 - 2 (-4) = 10 10 = 10 - вірно.

-3 (2) - 4 (-4) = 10 10 = 10 - вірно.

Поради

Один неправильний знак може привести до помилкового відповіді. Уважно стежте за знаками!
Перевіряйте відповідь, підставивши знайдені значення змінних в обидва рівняння. Якщо обидва рівняння звертаються в рівність, то ви знайшли правильну відповідь.