Як вирішувати логарифмічні рівняння

На перший погляд логарифмічні рівняння дуже складно вирішувати, але це зовсім не так, якщо усвідомити, що логарифмічні рівняння - це інший спосіб запису показових рівнянь. Для вирішення логарифмічного рівняння уявіть його у вигляді показового рівняння.

кроки

Метод 1 з 4:

Спочатку навчіться представляти логарифмічна вираз в показовою формі.

1. визначення логарифма. Логарифм визначається як показник ступеня, в яку треба звести підстава, щоб отримати число. Представлені нижче логарифмічна і показове рівняння рівносильні.

y = log_в (X)

За умови, що: b = x

в - підстава логарифма, причому

в>0

в ≠ 1

х - аргумент логарифма, а у - значення логарифма.

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 2

2. Подивіться на дане рівняння і визначте підставу (b), аргумент (х) і значення (у) логарифма.

приклад: 5 = log₄(1024)

b = 4

y = 5

x = 1024

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 3

3. Запишіть аргумент логарифма (х) на одній стороні рівняння.

приклад: 1024 =?

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 4

4. На іншій стороні рівняння запишіть підставу (b), зведена в ступінь, рівну значенню логарифма (у).

приклад: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

Це рівняння також може бути представлено як: 4

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 5

5. Тепер запишіть логарифмічна вираження у вигляді показового вираження. Перевірте, чи правильний відповідь, упевнившись, що обидві сторони рівняння рівні.

приклад: 4 = 1024

Метод 2 з 4:

Обчислення «х»

1. Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.

приклад: log₃(з + 5) + 6 = 10

log₃(з + 5) = 10 - 6
log₃(з + 5) = 4

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 7

2. Перепишіть рівняння в показовою формі (для цього використовуйте метод, викладений у попередньому розділі).

приклад: log₃(з + 5) = 4

Згідно з визначенням логарифма (y = log_в (X)): Y = 4 b = 3 x = x + 5

Перепишіть це логарифмічна рівняння у вигляді показового (b = x):

3 = x + 5

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 8

3. Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.

приклад: 3 = x + 5

3 * 3 * 3 * 3 = x + 5

81 = x + 5

81 - 5 = x

76 = x

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 9

4. Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).

приклад: х = 76

Метод 3 з 4:

Обчислення «х» через формулу для логарифма добутку

1. Формула для логарифма добутку: логарифм добутку двох аргументів дорівнює сумі логарифмів цих аргументів:

log_в(M * n) = log_в(M) + log_в(N)
при цьому:

м > 0
н > 0

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 11

2. Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.

приклад: log₄(X + 6) = 2 - log₄(X)

log₄(X + 6) + log₄(X) = 2 - log₄(X) + log₄(X)

log₄(X + 6) + log₄(X) = 2

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 12

3. Застосуйте формулу для логарифма добутку, якщо в рівнянні є сума двох логарифмів.

приклад: log₄(X + 6) + log₄(X) = 2

log₄[(X + 6) * x] = 2

log₄(X + 6x) = 2

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 13

4. Перепишіть рівняння в показовою формі (для цього використовуйте метод, викладений у першому розділі).

приклад: log₄(X + 6x) = 2

Згідно з визначенням логарифма (y = log_в (X)): Y = 2 b = 4 x = x + 6x

Перепишіть це логарифмічна рівняння у вигляді показового (b = x):

4 = x + 6x

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 14

5. Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.

приклад: 4 = x + 6x

4 * 4 = x + 6x

16 = x + 6x

16 - 16 = x + 6x - 16

0 = x + 6x - 16

0 = (x - 2) * (x + 8)

x = 2 x = -8

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 15

6. Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).

приклад: х = 2

Зверніть увагу, що значення «х» не може бути негативним, тому рішенням х = - 8 можна знехтувати.

Метод 4 з 4:

Обчислення «х» через формулу для логарифма приватного

1. Формула для логарифма приватного: логарифм приватного двох аргументів дорівнює різниці логарифмів цих аргументів:

log_в(M / n) = log_в(M) - log_в(N)
при цьому:

м > 0
н > 0

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 17

2. Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.

приклад: log₃(X + 6) = 2 + log₃(X - 2)

log₃(X + 6) - log₃(X - 2) = 2 + log₃(X - 2) - log₃(X - 2)

log₃(X + 6) - log₃(X - 2) = 2

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 18

3. Застосуйте формулу для логарифма приватного, якщо в рівнянні є різниця двох логарифмів.

приклад: log₃(X + 6) - log₃(X - 2) = 2

log₃[(X + 6) / (x - 2)] = 2

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 19

4. Перепишіть рівняння в показовою формі (для цього використовуйте метод, викладений у першому розділі).

приклад: log₃[(X + 6) / (x - 2)] = 2

Згідно з визначенням логарифма (y = log_в (X)): Y = 2 b = 3 x = (x + 6) / (x - 2)

Перепишіть це логарифмічна рівняння у вигляді показового (b = x):

3 = (x + 6) / (x - 2)

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 20

5. Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.

приклад: 3 = (x + 6) / (x - 2)

3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)

9 = (x + 6) / (x - 2)

9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)

9x - 18 = x + 6

9x - x = 6 + 18

8x = 24

8x / 8 = 24/8

x = 3

Зображення з назвою Solve Logarithms Step 21

6. Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).

приклад: х = 3