Як побудувати графік раціональної функції: 8 кроків

Раціональна функція має вигляд у = N (х) / D (х), де N і D - многочлени. Для побудови точного графіка такої функції знадобляться непогані знання алгебри, включаючи диференціальні обчислення. Розглянемо наступний приклад: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

кроки

1. Знайдіть точку перетину графіка з віссю Y. Для цього в функцію підставте х = 0 і отримаєте у = 5/2. Таким чином, точка перетину графіка з віссю Y має координати (0, 5/2). Відкладіть цю точку на координатній площині.

2. Знайдіть горизонтальні асимптоти. Розділіть чисельник на знаменник (в стовпчик), щоб визначити поведінку «у» при значеннях «х», які прагнуть в нескінченність. У нашому прикладі результатом ділення буде y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). При великих позитивних або негативних значеннях «х» 17 / (8x + 4) прагне до нуля, а графік наближається до прямої, заданої функцією y = (1/2)x - (7/4). Використовуючи пунктирну лінію, побудуйте графік цієї функції.

Якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника, то ви не зможете поділити чисельник на знаменник і асимптота опишеться функцією у = 0.

Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, то асимптота є горизонтальною прямою, яка дорівнює відношенню коефіцієнтів при «х» у вищій мірі.

Якщо ступінь чисельника на 1 більше ступеня знаменника, то асимптота є похилою пряму, кутовий коефіцієнт якої дорівнює відношенню коефіцієнтів при «х» у вищій мірі.

Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника на 2, 3 і т.д., то при великих значеннях |х| значення у прагнуть в нескінченність (позитивну або негативну) у вигляді квадратного, кубічного чи іншою мірою многочлена. В цьому випадку, швидше за все, не потрібно будувати точний графік функції, отриманої при діленні чисельника на знаменник.

3. Знайдіть нулі функції. Раціональна функція має нулі, коли її чисельник дорівнює нулю, тобто N (х) = 0. У нашому прикладі 2x - 6x + 5 = 0. Дискримінант цього квадратного рівняння:b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Так як дискримінант від`ємний, то N (х), А отже і F (х) Не має дійсних коренів. Графік раціональної функції не перетинає вісь Х. Якщо у функції є нулі (коріння), то відкладіть їх на координатної площині.

4. Знайдіть вертикальні асимптоти. Для цього прирівняти знаменник до нуля. У нашому прикладі 4x + 2 = 0 і х = -1/2. Побудуйте графік вертикальної асимптоти, використовуючи пунктирну лінію. Якщо при деякому значенні х N (х) = 0 і D (х) = 0, то вертикальна асимптота або існує, або не існує (це рідкісний випадок, але краще пам`ятати про нього).

5. Подивіться на залишок від ділення чисельника на знаменник. Він позитивний, негативний або дорівнює нулю? У нашому прикладі залишок дорівнює 17, тобто він позитивний. знаменник 4x + 2 позитивний праворуч від вертикальної асимптоти і негативний зліва від неї. Це означає, що графік раціональної функції при великих позитивних значеннях х наближається до асимптоти зверху, а при великих негативних значеннях х - знизу. Так як 17 / (8x + 4) ніколи не дорівнює нулю, то графік цієї функції ніколи не перетне пряму, задану функцієюу = (1/2)х - (7/4).

6. Знайдіть локальні екстремуми. Локальний екстремум існує при N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. У нашому прикладі N `(x) = 4x - 6 і D `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = x + x - 4 = 0. Вирішивши це рівняння, ви знайдете, що x = 3/2 і x = -5/2. (Це не зовсім точні значення, але вони підійдуть для нашого випадку, коли надточних не потрібна.)

7. Знайдіть значення у для кожного локального екстремуму. Для цього підставте значення х в вихідну раціональну функцію. У нашому прикладі f (3/2) = 1/16 і f (-5/2) = -65/16. Відкладіть точки (3/2, 1/16) та (-5/2, -65/16) на координатної площині. Так як обчислення засновані на приблизних значеннях (з попереднього кроку), знайдені мінімум і максимум теж не зовсім точні (але, ймовірно, дуже близькі до точних значень). (Точка (3/2, 1/16) дуже близька до локального мінімуму. Починаючи з кроку 3, ми знаємо, що у завжди позитивна при х> -1/2, і ми знайшли невелике значення (1/16) - таким чином, в цьому випадку значення помилки вкрай маленьке.)

8. З`єднайте відкладені точки і плавно продовжите графік до асимптотам (не забудьте про правильному напрямку наближення графіка до асимптотам). Не забувайте, що графік не повинен перетинати вісь Х (див. крок 3). Графік також не перетинається з горизонтальною і вертикальною асимптотами (див. крок 5). Не міняйте напрям графіка крім як в точках екстремумів, знайдених в попередньому кроці.

Поради

Якщо ви виконали вищеописані дії строго по порядку, то немає необхідності обчислювати другі похідні (або аналогічні складні величини) для перевірки вашого рішення.
Якщо вам не потрібно обчислювати значення величин, ви можете замінити знаходження локальних екстремумів на обчислення деяких додаткових пар координат (х, у) Між кожною парою асимптот. Більш того, якщо вам все одно, як працює описаний метод, то не дивуйтеся, чому ви не можете знайти похідну і вирішити рівняння N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.
У деяких випадках вам доведеться працювати з многочленами вищих порядків. Якщо ви не можете знайти точне рішення за допомогою розкладання на множники, формул і т.п., то оціните можливі рішення, використовуючи чисельні методи, такі як метод Ньютона.
У рідкісних випадках чисельник і знаменник мають загальний змінний множник. Згідно описаним крокам це призведе до нуля і до вертикальної асимптоти на тому ж місці. Однак це неможливо, а поясненням служить один з наступних варіантів:

Нуль в N (х) Має більш високу кратність, ніж нуль в D (х). Графік F (х) Прагне до нуля в цій точці, але не визначений в ній. Вкажіть це, намалювавши окружність навколо точки.
Нуль в N (х) І нуль в D (х) Мають однакову кратність. Графік наближається до деякої ненульовий точці при цьому значенні х, але не визначений в ній. Вкажіть це, намалювавши окружність навколо точки.
Нуль в N (х) Має більш низьку кратність, ніж нуль в D (х). Тут існує вертикальна асимптота.