Як визначити паралельність двох прямих

Паралельними прямими називаються прямі, які лежать в одній площині і ніколи не перетинаються (протягом нескінченності). У паралельних прямих однаковий кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі абсцис, а саме стосовно зміни координати «y» до зміни координати «х». Найчастіше паралельні прямі позначені «ll». Наприклад, запис ABllCD означає, що пряма АВ паралельна прямій CD.

кроки

Метод 1 з 3:

Порівняння кутових коефіцієнтів двох прямих

1. Запишіть формулу для обчислення кутового коефіцієнта. Формула: k = (y₂ - y₁) / (X₂ - x₁), Де «x» і «y» - координати двох точок (будь-яких), що лежать на прямій. Координати першої точки, яка знаходиться ближче до початку координат, позначте як (x₁, y₁) - координати другої точки, яка знаходиться далі від початку координат, позначте як (x₂, y₂).

Наведену формулу можна сформулювати так: відношення вертикального відстані (між двома точками) до горизонтального відстані (між двома точками).
Якщо пряма зростає (спрямована вгору), її кутовий коефіцієнт позитивний.
Якщо пряма убуває (спрямована вниз), її кутовий коефіцієнт негативний.

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 2

2. Визначте координати двох точок, які лежать на кожній прямій. Координати точок записуються у вигляді (х, у), де «х» - координата по осі Х (осі абсцис), «y» - координата по осі «у» (вісь ординат). Щоб обчислити кутовий коефіцієнт, відзначте по дві точки на кожній прямій.

Точки легко відзначити, якщо прямі намалювати на координатної площині.

Щоб визначити координати точки, проведіть від неї перпендикуляри (пунктиром) до кожної осі. Точка перетину пунктирною лінії з віссю Х - це координата «х», а точка перетину з віссю Y - координата «у».

Наприклад: на прямий l лежать точки з координатами (1, 5) і (-2, 4), а на прямий r - точки з координатами (3, 3) і (1, -4).

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 3

3. Підставте координати точок в формулу. Потім відніміть відповідні координати і знайдіть відношення отриманих результатів. При підстановці координат в формулу не переплутайте їх порядок.

Обчислення кутового коефіцієнта прямої l: k = (5 - (-4)) / (1 - (-2))

Віднімання: k = 9/3

Розподіл: k = 3

Обчислення кутового коефіцієнта прямої r: k = (3 - (-4)) / (3 - 1) = 7/2

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 4

4. Порівняйте кутові коефіцієнти. Пам`ятайте, що у паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні. На малюнку прямі можуть здаватися паралельними, але якщо кутові коефіцієнта не рівні, такі прямі не паралельні один одному.

У нашому прикладі 3 не дорівнює 7/2, тому дані прямі не є паралельними.

Метод 2 з 3:

За допомогою лінійного рівняння

1. Запишіть лінійне рівняння. Лінійне рівняння має вигляд y = kx + b, де k - кутовий коефіцієнт, b - координата «у» точки перетину прямої з віссю Y, «х» і «у» - змінні, які визначаються координатами точок, які лежать на прямій. За цією формулою можна з легкістю обчислити кутовий коефіцієнт k.

наприклад. Уявіть рівняння 4y - 12x = 20 і у = 3x -1 в формі лінійного рівняння. Рівняння 4y - 12x = 20 потрібно представити в необхідній формі, а ось рівняння у = 3x -1 уже записано як лінійне рівняння.

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 6

2. Перепишіть рівняння у вигляді лінійного рівняння. Іноді дається рівняння, яке не представлено у формі лінійного рівняння. Щоб переписати таке рівняння, потрібно виконати ряд нескладних математичних операцій.

Наприклад: перепишіть рівняння 4y - 12x = 20 в формі лінійного рівняння.

До обом сторонам рівняння додайте 12x: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x

Обидві сторони рівняння розділіть на 4, щоб відокремити «у»: 4y / 4 = 12х / 4 +20/4

Рівняння у вигляді лінійного: у = 3x + 5.

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 7

3. Порівняйте кутові коефіцієнти. Пам`ятайте, що у паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні. За допомогою рівняння y = kx + b, де k - кутовий коефіцієнт, можна знайти і порівняти кутові коефіцієнти двох прямих.

У нашому прикладі перша пряма описується рівнянням у = 3x + 5, тому кутовий коефіцієнт дорівнює 3. Друга пряма описується рівнянням у = 3x - 1, тому кутовий коефіцієнт теж дорівнює 3. Так як кутові коефіцієнти рівні, дані прямі паралельні.

Зверніть увагу, що якщо у прямих з рівним кутовим коефіцієнтом коефіцієнт b (координата «у» точки перетину прямої з віссю Y) теж однаковий, такі прямі збігаються, а не є паралельними.

Метод 3 з 3:

Знаходження рівняння паралельної прямий

1. Запишіть рівняння. Наступне рівняння дозволить знайти рівняння паралельної (другий) прямий, якщо дано рівняння першої прямої і координати точки, яка лежить на шуканої паралельної (другий) прямий: y - y₁= K (x - x₁), Де k - кутовий коефіцієнт, x₁ і y₁ - координати точки, що лежить на шуканої прямий, «х» і «у» - змінні, які визначаються координатами точок, які лежать на першій прямій.

Наприклад: знайдіть рівняння прямої, яка паралельна прямій у = -4x + 3 і яка проходить через точку з координатами (1, -2).

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 9

2. Визначте кутовий коефіцієнт даної (першої) прямий. Щоб знайти рівняння паралельної (другий) прямий, спочатку потрібно визначити її кутовий коефіцієнт. Переконайтеся, що рівняння дано в формі лінійного рівняння, а потім знайдіть значення кутового коефіцієнта (k).

Друга пряма повинна бути паралельною даної прямий, яка описується рівнянням у = -4x + 3. У цьому рівнянні k = -4, тому у другій прямій буде такий же кутовий коефіцієнт.

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 10

3. В представлене рівняння підставте координати точки, яка лежить на другий прямий. Цей метод можна застосовувати тільки в тому випадку, якщо дані координати точки, що лежить на другий прямий, рівняння якої потрібно знайти. Чи не переплутайте координати такої точки з координатами точки, яка лежить на даній (першої) прямий. Пам`ятайте, що якщо у прямих з рівним кутовим коефіцієнтом коефіцієнт b (координата «у» точки перетину прямої з віссю Y) теж однаковий, такі прямі збігаються, а не є паралельними.

У нашому прикладі точка, що лежить на другий прямий, має координати (1, -2).

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 11

4. Запишіть рівняння другий прямий. Для цього відомі значення підставте в рівняння y - y₁= K (x - x₁). Підставте знайдений кутовий коефіцієнт і координати точки, що лежить на другий прямий.

У нашому прикладі k = -4, а координати точки (1, -2): у - (-2) = -4 (х - 1)

Зображення з назвою Figure out if Two Lines Are Parallel Step 12

5. Спростіть рівняння. Спростіть рівняння і запишіть його у вигляді лінійного рівняння. Якщо намалювати другу пряму на координатної площині, вона буде паралельна даній (першої) прямий.

Наприклад: у - (-2) = -4 (х - 1)

Два «мінуса» дають «плюс»: у + 2 = -4 (х -1)

Розкрийте дужки: у + 2 = -4x + 4.

З обох сторін рівняння відніміть -2: у + 2 - 2 = -4x + 4 - 2

Спрощене рівняння: у = -4x + 2