Як розкласти на множники рівняння алгебри

Розкладання на множники рівняння - це процес знаходження таких членів або виразів, які, будучи перемноження, призводять до початкового рівняння. Розкладання на множники є корисним навиком для вирішення основних алгебраїчних задач, і стає практично необхідним при роботі з квадратними рівняннями і іншими многочленами. Розкладання на множники використовується для спрощення алгебраїчних рівнянь, щоб полегшити їх рішення. Розкладання на множники може допомогти вам виключити певні можливі відповіді швидше, ніж ви це зробите, вирішуючи рівняння вручну.

кроки

Метод 1 з 3:

Розкладання на множники чисел і основних алгебраїчних виразів

1. Розкладання на множники чисел. Концепція розкладання на множники проста, але на практиці розкладання на множники може виявитися непростим завданням (якщо дано складне рівняння). Тому для початку розглянемо концепцію розкладання на множники на прикладі чисел, продовжимо з простими рівняннями, а потім перейдемо до складних рівнянь. Множники даного числа - це числа, які при перемножуванні дають вихідне число. Наприклад, множителями числа 12 є числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так як 1 * 12 = 12, 2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12.

Аналогічно, ви можете розглядати множники числа як його подільники, тобто числа, на які ділиться дане число.
Знайдіть всі множники числа 60. Ми часто використовуємо число 60 (наприклад, 60 хвилин в годині, 60 секунд в хвилині і т.д.) І у цього числа досить велика кількість множників.

Множники 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60.

2. Запам`ятайте: члени вирази, що містять коефіцієнт (число) і змінну, також можуть бути розкладені на множники. Для цього знайдіть множники коефіцієнта при змінної. Знаючи, як розкласти на множники члени рівнянь, можна легко спростити дане рівняння.

Наприклад, член 12x може бути записаний у вигляді твору 12 і х. Ви також можете записати 12x як 3 (4x), 2 (6x) і т.д., розклавши число 12 на найбільш підходящі вам множники.

Ви можете розкладати 12x кілька разів поспіль. Іншими словами, ви не повинні зупинятися на 3 (4x) або 2 (6x) - продовжите розкладання: 3 (2 (2x)) або 2 (3 (2x)) (очевидно, що 3 (4x) = 3 (2 (2x )) і т.д.)

3. Застосуйте розподільна властивість множення для розкладання на множники алгебраїчних рівнянь. Знаючи, як розкласти на множники числа і члени виразу (коефіцієнти зі змінними), ви можетеупростіть нескладні рівняння алгебри, знайшовши спільну множник числа і члена вирази. Зазвичай для спрощення рівняння необхідно знайти найбільший спільний дільник (НСД). Таке спрощення можливо завдяки розподільного властивості множення: для будь-яких чисел а, b, з вірно рівність a (b + c) = ab + ac.

приклад. Розкладіть на множники рівняння 12х + 6. По-перше, знайдіть НСД 12x і 6. 6 є найбільшим числом, яке ділить і 12x, і 6, тому ви можете розкласти дане рівняння на: 6 (2x + 1).

Цей процес також вірний для рівнянь, в яких є негативні і дробові члени. Наприклад, х / 2 + 4 може бути розкладено на 1/2 (х + 8) - наприклад, -7x + (- 21) може бути розкладено на -7 (х + 3).

Метод 2 з 3:

Розкладання на множники квадратних рівнянь

1. Переконайтеся, що рівняння дано в квадратичної формі (ax + bx + c = 0). Квадратні рівняння мають вигляд: ax + bx + c = 0, де а, b, с - числові коефіцієнти відмінні від 0. Якщо вам дано рівняння з однією змінною (х) і в цьому рівнянні є один або кілька членів зі змінною другого порядку, ви можете перенести всі члени рівняння на одну сторону рівняння і прирівняти його до нуля.

Наприклад, дано рівняння: 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18. Воно може бути перетворено в рівняння x + 6x + 9 = 0, яке є квадратним рівнянням.
Рівняння зі змінною х високих порядків, наприклад, x, x і т.д. не є квадратними рівняннями. Це кубічні рівняння, рівняння четвертого порядку і так далі (тільки якщо такі рівняння не можуть бути спрощені до квадратних рівнянь зі змінною х в ступені 2).

2. Квадратні рівняння, де а = 1, розкладаються на (x + d) (x + e), де d * е = с і d + е = b. Якщо дане вам квадратне рівняння має вигляд: x + bx + c = 0 (тобто коефіцієнт при x дорівнює 1), то таке рівняння можна (але не гарантовано) розкласти на вищевказані множники. Для цього потрібно знайти два числа, які при перемножуванні дають «с», а при додаванні - «b». Як тільки ви знайдете такі два числа (d і е), підставте їх в такий вираз: (x + d) (x + e), яке при розкритті дужок призводить до вихідного рівняння.

Наприклад, дано квадратне рівняння x + 5x + 6 = 0. 3 * 2 = 6 і 3 + 2 = 5, тому ви можете розкласти дане рівняння на (х + 3) (х + 2).

У разі негативних членів внесіть наступні незначні зміни в процес розкладання на множники:

Якщо квадратне рівняння має вигляд x-bx + c, то воно розкладається на: (х -_) (х-_).

Якщо квадратне рівняння має вигляд x-bx-c, то воно розкладається на: (х + _) (х-_).

Примітка: прогалини можуть бути замінені на дроби або десяткові числа. Наприклад, рівняння x + (21/2) x + 5 = 0 розкладається на (х + 10) (х + 1/2).

3. Розкладання на множники методом проб і помилок. Нескладні квадратні рівняння можна розкласти на множники, просто підставляючи числа в можливі рішення до тих пір, поки ви не знайдете правильного рішення. Якщо рівняння має відax + bx + c, гдеa> 1, можливі рішення записуються в вигляді (dx +/- _) (ex +/- _), де d і е - числові коефіцієнти відмінні від нуля, які при перемножуванні дають а. Або d, або e (або обидва коефіцієнта) можуть бути рівні 1. Якщо обидва коефіцієнта дорівнюють 1, то скористайтеся способом, описаним вище.

Наприклад, дано рівняння 3x - 8x + 4. Тут 3 має тільки два множники (3 і 1), тому можливі рішення записуються в вигляді (3x +/- _) (х +/- _). В цьому випадку, підставивши замість пробілів -2, ви знайдете правильну відповідь: -2 * 3x = -6x і -2 * х = -2x- - 6x + (- 2x) = - 8x і -2 * -2 = 4, то є таке розкладання при розкритті дужок призведе до членів вихідного рівняння.

4. повний квадрат. У деяких випадках квадратні рівняння можуть бути швидко і легко розкладені на множники за допомогою спеціальної алгебри ідентичності. Будь-яке квадратне рівняння виду x + 2xh + h = (x + h). Тобто, якщо в вашому рівнянні коефіцієнт b дорівнює подвоєному квадратному кореню з коефіцієнта c, то ваше рівняння можна розкласти на (x + (кВ.корінь (c))).

Наприклад, дано рівняння x + 6x + 9. Тут 3 = 9 і 3 * 2 = 6. Тому це рівняння розкладається на (х + 3) (х + 3) або (x + 3).

5. Використовуйте розкладання на множники для вирішення квадратних рівнянь. Розклавши рівняння на множники, ви можете прирівняти кожен множник до нуля і обчислити значення х (під рішенням рівняння мається на увазі знаходження значень х, при яких рівняння рано нулю).

Повернемося до рівняння x + 5x + 6 = 0. Це рівняння розкладається на множники (х + 3) (х + 2) = 0. Якщо один з множників дорівнює 0, то все рівняння дорівнює 0. Тому запишемо: (х + 3) = 0 і (х + 2) = 0 і знайдемо х = -3 і х = -2 (відповідно).

6. Перевірте відповідь (деякі відповіді можуть бути неправильними). Для цього підставте знайдені значення х в вихідне рівняння. Іноді при підстановці знайдених значень вихідне рівняння не дорівнює нулю- це означає, що такі значення х невірні.

Наприклад, підставте х = -2 і х = -3 в x + 5x + 6 = 0. Спочатку підставимо х = -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Тобто х = -2 - правильна відповідь.

Тепер підставте х = -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Тобто х = -3 - правильна відповідь.

Метод 3 з 3:

Розкладання на множники інших рівнянь

1. Якщо дано рівняння виду a-b, то воно розкладається на (a + b) (a-b), де а і b не рівні 0.

Наприклад: 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y)

2. Якщо дано рівняння виду a + 2ab + b, то воно розкладається на (a + b). Якщо дано рівняння виду a-2ab + b, то воно розкладається на: (a-b).

Рівняння 4x + 8xy + 4y може бути розкладено на: 4x + 2 * 2х * 2y + 4y = (2x + 2y).

3. Якщо дано рівняння виду ab, то воно розкладається на (ab) (a + ab + b). Потрібно згадати, що кубічні рівняння і рівняння вищого порядку можна розкласти на множники, хоча процес розкладання є складним.

Наприклад: 8x - 27y розкладається на: (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)

Поради

a-b можна розкласти на множники, a + b можна розкласти на множники.
Навчіться розкладати на множники коефіцієнти (числа) - це може допомогти при розкладанні рівнянь.
При розкладанні на множники акуратно працюйте з дробом.
Якщо вам дано тричлен виду x + bx + (b / 2), то він може бути розкладений на: (x + (b / 2)).
Запам`ятайте: a * 0 = 0.

Що вам знадобиться

папір
олівець
Підручник алгебри (при необхідності)