Як вивчати алгебру (з ілюстраціями)

Освоївши алгебру, ви зможете вивчати інші математичні дисципліни, кожна з яких грунтується на деяких базисних принципах і навичках. Освоєння таких навичок може стати нелегким завданням для тих, хто вперше стикається з математикою. Якщо це ваш випадок, не нервуйте - прочитайте цю статтю, в якій наводяться пояснення, приклади та поради, завдяки яким ви зможете вирішувати завдання як досвідчений математик.

кроки

Частина 1 з 5:

Основні алгебраїчні правила

1. Основні математичні операції. Для початку освойте основні математичні операції: додавання, віднімання, множення і ділення. Це перший крок на шляху вивчення алгебри. Якщо ви не засвоїте ці операції, вам буде складно вивчати більш складні алгебраїчні концепції. Рекомендуємо вам прочитати статтю Як вивчати математику.

Не обов`язково виконувати математичні операції в голові. У більшості випадків вам буде дозволено користуватися калькулятором. Але краще засвоїти принципи виконання математичних операцій вручну на випадок, якщо ви не зможете скористатися калькулятором.

2. Запам`ятайте правильний порядок виконання операцій: виконайте вираз в дужках, зведіть до степеня, помножте, розділіть, складіть, відніміть. Ще раз наведемо правильний порядок виконання математичних операцій:

Вираз в дужках

Зведення в ступінь

множення

розподіл

додавання

віднімання

Порядок виконання операцій має важливе значення, тому що виконання операцій не в тому порядку призведе до неправильного результату. Наприклад, якщо дано вираз 8 + 2 х 5, то склавши 8 і 2, ви отримаєте 10 х 5 = 50. А якщо ви спочатку перемножити 2 і 5, то отримаєте 8 + 10 = 18. Другий результаті є вірним, а перший немає.

3. Навчіться працювати з негативними числами. В алгебрі використовуються негативні числа, тому необхідно знати, як їх складати, віднімати, множити і ділити. Нижче наведені деякі основні принципи роботи з негативними числами.

На числовій прямій негативне число розташоване на такій же відстані від нуля, що і рівне йому за значенням позитивне число (але в протилежному напрямку).

При складанні двох негативних чисел ви отримаєте менший негативний число (по модулю результат буде більше модулів двох складаються чисел, а за фактом менше, так як це негативні числа).

При відніманні негативного числа ви можете замінити два знака «мінус» на знак «плюс», тобто ви додасте позитивне число.

При перемножуванні або розподілі двох негативних чисел ви отримаєте позитивний результат.

При перемножуванні або розподілі позитивного числа і негативного числа ви отримаєте негативний результат.

4. Рішення довгих виразів. На відміну від коротких виразів для вирішення довгих виразів може знадобитися безліч кроків. Щоб уникнути помилок кожен крок рішення пишіть на новому рядку. Якщо ви вирішуєте рівняння, спробуйте писати знаки рівності один під одним. Так вам буде простіше знайти і виправити помилку.

Наприклад, дано вираз 9/3 - 5 + 3 х 4. Вирішіть його наступним чином:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Частина 2 з 5:

змінні

1. Змінні позначаються буквами. У деяких алгебраїчних виразах поряд з числами ви зустрінете і змінні. Работатьс змінними не так складно, як здається - вони просто позначають величини, значення яких не відомі. Нижче наведені приклади змінних:

Букви латинського алфавіту: x, y, z, a, b, c
Літери грецького алфавіту, наприклад, θ
Зверніть увагу, що не всі букви позначають змінні. Наприклад, буква π позначає число пі, значення якого відомо (3,1459).

2. Пам`ятайте, що змінні - це величини, значення яких не відомі. Тобто теоретично існує число (або кілька чисел), яке може бути підставлений замість змінної. Найчастіше основною метою вирішення алгебраїчних рівнянь є знаходження значення змінної.

Наприклад, в рівнянні 2х + 3 = 11 «х» - це змінна. Це означає, що існує таке значення «х», при якому ліва сторона рівняння дорівнюватиме 11. Так як 2 х 4 + 3 = 11, то х = 4.

Для кращого з`ясування змінних в рівняннях міняйте їх на знак питання. Наприклад, рівняння 2 + 3 + х = 9 можна переписати у вигляді 2 + 3 + ? = 9-таким чином, потрібно з`ясувати, яка кількість слід додати до 2 + 3, щоб отримати 9. Таким числом є число 4.

3. Якщо у виразі змінна присутня в декількох членах, то такий вислів можна спростити. Для цього складіть або відніміть подібні члени, тобто члени з однаковою змінної (при цьому у однакових змінних повинен бути однаковий показник ступеня). Це не так складно, як здається. Наприклад, х + х = 2х, але х + у ≠ 2xy.

Наприклад, розглянемо рівняння 2x + 1x = 9. В цьому випадку складіть 2х і 1х: 2х + 1х = 3х, тобто початкове рівняння листується в вигляді 3х = 9. Таким чином, х = 3.

Ще раз: складаються і віднімаються члени з однаковими змінними. У рівнянні 2х + 1y = 9 ви не можете скласти 2x і 1y, тому що в цих членах різні змінні.

Також пам`ятайте, що у однакових змінних повинен бути однаковий показник ступеня. Наприклад, в рівнянні 2x + 3x = 10 ви не можете скласти 2x і 3x через різні показників ступеня. Рекомендуємо прочитати статтю Як складати ступеня.

Частина 3 з 5:

Рішення найпростіших рівнянь

1. Для вирішення рівняння обособьте змінну на одній стороні рівняння. Рішення алгебраїчного рівняння - це знаходження значення змінної. Тому необхідно відокремити змінну на одній стороні рівняння, а числа - на іншій стороні. Наприклад, розглянемо рівняння х + 2 = 9 х 4.

У нашому прикладі для відокремлення змінної «х» необхідно перенести 2 на праву сторону рівняння. Для цього з обох частин рівняння відніміть 2 (щоб значення рівняння залишається такою). Ви отримаєте х = 9 х 4 - 2 = 36 - 2 = 34.

2. При перенесенні числа через знак рівності математична операція змінюється на протилежну - тут розглянемо операції додавання і віднімання. Для відокремлення змінної на одній стороні рівняння необхідно перенести число за знак рівності. Для цього необхідно відняти або прибувати це число до обох сторін рівняння. Наприклад, розглянемо рівняння х + 3 = 0. Тут необхідно перенести 3 за знак рівності. Для цього потрібно відняти 3 від обох сторін рівняння, тобто написати так: х + 3 - 3 = 0 - 3. Таким чином, ви отримаєте х = -3.

Запам`ятайте: якщо число додається, відніміть його на іншій стороні уравненія- якщо число віднімається, додайте його на іншій стороні рівняння.

Прибавляемое число віднімайте. Наприклад, х + 9 = 3-х = 3 - 9

Від`ємник число додавайте. Наприклад, х - 4 = 20 х = 20 + 4

3. При перенесенні числа через знак рівності математична операція змінюється на протилежну - тут розглянемо операції множення і ділення. Наприклад, якщо змінна множиться на 3, то розділіть обидві сторони рівняння на 3.

Запам`ятайте: якщо змінна множиться на число, ділите на нього іншу сторону уравненія- якщо змінна ділиться на число, помножте на нього іншу сторону рівняння.

Множення міняйте на розподіл. Наприклад, 6x = 14 + 2 x = (14 + 2)/ 6

Розподіл міняйте на множення. Наприклад, x / 5 = 25- x = 25 × 5

4. При перенесенні числа через знак рівності математична операція змінюється на протилежну - тут розглянемо зведення в ступінь і добування кореня. Рекомендуємо прочитати статтю Як вирішувати вираження зі ступенями. Операцією, протилежної зведення в ступінь, є витяг кореня (і навпаки). Наприклад, операцією, протилежною зведення в квадрат (в другу ступінь), є витяг квадратного кореня (√) - операцією, протилежною зведення в куб (в третю ступінь), є витяг кубічного кореня (√).

Якщо змінна зводиться до степеня, витягніть корінь з обох сторін рівняння. Якщо змінна стоїть під знаком кореня, зведіть до степеня обидві сторони рівняння.

У разі зведення в ступінь виймайте корінь. Наприклад, x = 49- x = √49

У разі вилучення кореня зводите в ступінь. Наприклад, √x = 12- x = 12

Частина 4 з 5:

відточування навичок

1. Якщо ви не можете визначити, як вирішити дане вам рівняння, візуалізують його за допомогою картинок або діаграм. Або ж візьміть кілька предметів, наприклад, кубики або монети (якщо є).

Наприклад, вирішимо рівняння х + 2 = 3, скориставшись значком ☐.
x +2 = 3
☒ + ☐☐ = ☐☐☐
З обох сторін рівняння відніміть 2. Для цього з кожного боку рівняння приберіть за два значка (☐☐):
☒ + ☐☐-☐☐ = ☐☐☐-☐☐
☒ = ☐, тобто x = 1
Інший приклад 2x = 4.
☒☒ = ☐☐☐☐
Обидві сторони рівняння розділіть на 2. Для цього розділіть значки на дві рівні групи з обох сторін рівняння.
☒ | ☒ = ☐☐ | ☐☐
☒ = ☐☐, тобто x = 2

2. При вирішенні завдання перевіряйте складене вами рівняння. Для цього замість змінної підставте найпростіші значення, наприклад, х = 0, або х = 1, або х = -1, і з`ясуйте, чи має рівняння сенс. Наприклад, легко помилитися і написати р = 6d, тоді як потрібно написати р = d / 6.

Наприклад, дана така задача: довжина футбольного поля більше його ширини на 30 м. Складіть наступне рівняння: l = w + 30. Перевірте, чи має це рівняння смисл- для цього замість змінних підставте деякі значення. Наприклад, якщо ширина w = 10 м, то довжина поля l = 10 + 30 = 40 м- якщо ширина w = 30 м, то довжина поля l = 30 + 30 = 60 м (і так далі). Це рівняння має сенс, тому що при будь-якому значенні ширини довжина виходить більше.

3. Пам`ятайте, що відповіді (кінцеві значення) не завжди будуть цілими числами. Вони можуть бути десятковими дробами, звичайними дробами або ірраціональними числами. Такі відповіді знаходяться за допомогою калькулятора, але ваш викладач може зажадати вказати відповідь в іншому вигляді.

Наприклад, ви отримали відповідь х = 1250. За допомогою калькулятора зведіть 1250 в сьомий ступінь, і ви отримаєте величезну кількість. В цьому випадку краще записати відповідь у вигляді х = 1250 або ж в експоненційному поданні.

4. Вивчивши основи алгебри, переходите до розкладання многочленів на множники. Це дуже просунута техніка, яка дозволить вам представляти складні многочлени в спрощеному вигляді. Рекомендуємо прочитати цю статтю. Нижче наведено кілька порад по розкладанню многочленів на множники.

Багаточлени виду ax + ba розкладаються на множники a (x + b). Наприклад: 2x + 4 = 2 (x + 2)

Багаточлени виду ax + bx розкладаються на множники cx ((a / c) x + (b / c)), де c - найбільше число, на яке без остачі діляться a і b. Наприклад: 3y + 12y = 3y (y + 4)

Багаточлени виду x + bx + c розкладаються на множники (x + y) (x + z), де y × z = c і yx + zx = bx. Наприклад: x + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

5. Більше практикуйтеся в рішенні рівнянь і задач. Тільки так ви освоїте алгебраїчні навички. Не хвилюйтеся - уважно слухайте вчителя, виконуйте домашнє завдання і, якщо необхідно, просите допомоги у вчителя або ваших однокласників.

6. Задавайте питання вчителю, якщо ви щось не розумієте. Ви не зобов`язані самостійно розбиратися в тонкощах алгебри, тому задавайте питання вашому викладачеві. Підійдіть до нього після уроку і ввічливо задайте питання. Хороший учитель охоче пояснить вам незрозумілі моменти (швидше за все, після уроків) і покаже, як вирішувати завдання.

Якщо з якої-небудь причини ваш учитель не може допомогти вам, спробуйте отримати пояснення якось по-іншому. Наприклад, в деяких школах існують факультативи, які проводяться після занять і на яких ви зможете знайти відповіді на ваші запитання. Пам`ятайте, що не варто соромитися просити про допомогу - це свідчить про вашу зацікавленість у вивченні предмета.

Частина 5 з 5:

Вивчення інших тем

1. Побудова графіка функції (рівняння зі змінними х і у). Графіки є важливою складовою алгебри, тому що вони дозволяють візуалізувати інформацію, представлену числами. У більшості випадків потрібно побудувати графік рівняння з двома змінними (х і у) - це робиться на двовимірної площині координат, представленої осями Х і Y. Для побудови графіка замість змінної «х» підставте певні значення, щоб знайти значення змінної «у» (або навпаки) - так ви отримаєте парні значення, що є координатами точок графіка.

Наприклад, дано рівняння у = 3x. Підставте в нього х = 2 і отримаєте у = 6, тобто ви отримали точку з координатами (2,6) (два по осі X і шість по осі Y).
Рівняння виду у = mх + b (де m і b - це числа) є найпоширенішими алгебраїчними рівняннями. Кутовий коефіцієнт графіка цього рівняння дорівнює m, і графік перетинає вісь Y при у = b.

2. рішення нерівностей. У нерівностях замість знака рівності варто один із знаків нерівностей. Нерівності зі знаками> (більше) і < (меньше) решаются аналогично обычным равенствам. В результате вы получите переменную, большую или меньшую определенного значения.

Наприклад, розглянемо нерівність 3> 5x - 2.

3> 5x - 2

5> 5x

1> x або x < 1>.

Це означає, що змінна «х» приймає будь-яке значення, менше 1. Тобто змінна «х» може бути рівною 0, -1, -2 і так далі. Якщо підставити ці значення у вихідне нерівність, ви отримаєте відповідь, менший 3.

3. Рішення квадратних рівнянь. Це рівняння виду ax + bx + c = 0, де a, b, c - числа, причому «а» може дорівнювати нулю, а «b» і «c» не можуть дорівнювати нулю. Такі рівняння вирішуються за формулою x = [-b +/- √ (b - 4ac)] / 2a. Зверніть увагу на те, що знак +/- вказує на можливість наявності двох коренів.

Наприклад, розглянемо квадратне рівняння 3x + 2x -1 = 0.

x = [-b +/- √ (b - 4ac)] / 2a

x = [-2 +/- √ (2 - 4 (3) (- 1))] / 2 (3)

x = [-2 +/- √ (4 - (-12))] / 6

x = [-2 +/- √ (16)] / 6

x = [-2 +/- 4] / 6

x1 = -1 і х2 = 1/3

4. Рішення систем рівнянь. Система рівнянь включає в себе кілька рівнянь. Вирішувати системи рівнянь не так складно, як здається. Багато викладачів вимагають вирішувати системи рівнянь за допомогою графіків. Якщо система рівнянь включає два рівняння, то рішенням системи є координати точок перетину графіків двох рівнянь.

Наприклад, дана система рівнянь у = 3x - 2 і у = -х - 6. Якщо ви побудуєте графіки обох рівнянь, ви отримаєте зростаючу пряму і спадну пряму, які перетнуться в точці з координатами (-1, -5). Це і є рішення системи рівнянь.

Якщо ви хочете перевірити відповідь, підставте знайдені значення в рівняння.

y = 3x - 2

-5 = 3 (-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = - (- 1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5

рівність дотримано!

Поради

В інтернеті є безліч корисних ресурсів для людей, які вивчають алгебру. Для їх пошуку в пошуковій системі введіть щось на зразок «допомога з алгебри». Також ви знайдете сотні корисних статей з алгебри на сайті ua.panoutx.info.
Якщо ви зіткнулися з проблемами, відкрийте сайт videourokionline.ru або school-assistant.ru. Там ви знайдете поради та завдання з різних предметів, включаючи алгебру.
Пам`ятайте, що за допомогою краще звернутися до людей, яких ви знаєте. Наприклад, зверніться до друзів або однокласників, якщо ви не зрозуміли тему останнього уроку з алгебри.