Як вирішувати завдання зі ступенями

Ступінь використовується для спрощення запису операції множення числа саме на себе. Наприклад, замість запису $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ можна написати $45$ $4 ^ {5}$ (Пояснення такого переходу дано в першому розділі цієї статті). Ступеня дозволяють спростити написання довгих або складних виразів або уравненій- також ступеня легко складаються і віднімаються, що призводить до спрощення виразу або рівняння (наприклад, $42 * 4^{3} = 4^{5}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Примітка: якщо вам необхідно вирішити показове рівняння (в такому рівнянні невідоме знаходиться в показнику ступеня), прочитайте цю статтю.

кроки

Метод 1 з 3:

Рішення найпростіших завдань зі ступенями

1. Термінологія. Наприклад, дана міра

23

$2 ^ {3}$ . Тут 2 - це підставу ступеня, а 3 - це показник ступеня. число

23

$2 ^ {3}$ озвучується так: два в третього ступеня або два в кубі.

Якщо в показнику ступеня присутній цифра 2, наприклад, $52$ $5 ^ {2}$ , то такий показник називається квадратом, тобто наш приклад озвучується так: п`ять в квадраті.
Якщо в показнику ступеня присутній цифра 3, наприклад, $103$ $10 ^ {3}$ , то такий показник називається кубом, тобто наш приклад озвучується так: десять в кубі.
Якщо число не має показника ступеня, то це означає, що показник ступеня дорівнює 1. наприклад, $4 = 4 1$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Будь-яке число (дріб, вираз), зведена в нульову ступінь, дорівнює 1, тобто $40 = 1$ $4 ^ {0} = 1$ або $(3 / 8)^{0} = 1.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Більш детальну інформацію ви знайдете в розділі «Поради».

Зображення з назвою Solve Exponents Step 2

2. Помножте підставу мірою саме на себе числом раз, рівним показнику ступеня. Якщо вам потрібно вирішити задачу зі ступенями вручну, перепишіть ступінь у вигляді операції множення, де підставу ступеня множиться саме на себе. Наприклад, дана міра

34

$3 ^ {4}$ . У цьому випадку підстава ступеня 3 потрібно помножити само на себе 4 рази:

3 * 3 * 3 * 3

. Ось інші приклади:

45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

82 = 8 * 8

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Десять в кубі

= 10 * 10 * 10

Зображення з назвою Solve Exponents Step 3

3. Для початку перемножте перші два числа. наприклад,

45

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Не хвилюйтеся - процес обчислення не такий складний, яким здається на перший погляд. Спочатку перемножте перші дві четвірки, а потім замініть їх отриманим результатом. Ось так:

45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = 16

$45 = 16 * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 4

4. Помножте отриманий результат (в нашому прикладі 16) на наступне число. Кожен наступний результат буде пропорційно збільшуватися. У нашому прикладі помножте 16 на 4. Ось так:

45 = 16 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

16 * 4 = 64

$45 = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$45 = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Продовжуйте множити результат перемноження перших двох чисел на наступне число до тих пір, поки не отримаєте остаточну відповідь. Для цього перемножуємо перші два числа, а потім отриманий результат помножте на наступне число в послідовності. Цей метод справедливий для будь-якого ступеня. У нашому прикладі ви повинні отримати: $45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Зображення з назвою Solve Exponents Step 5

5. Вирішіть наступні задачі. Відповідь перевірте за допомогою калькулятора.

82

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 6

6. На калькуляторі знайдіть клавішу, позначену як «exp», або «xn{ Displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ », Або« ^ ». За допомогою цієї клавіші ви будете зводити число в ступінь. Обчислити ступінь з великим показником вручну практично неможливо (наприклад, ступінь

я 15

$я ^ {{15}}$ ), Але калькулятор з легкістю впорається з цим завданням. У Windows 7 стандартний калькулятор можна перемкнути в інженерний режим-для цього натисніть «Вид» -> «Інженерний». Для перемикання в звичайний режим натисніть «Вид» -> «Звичайний».

Перевірте отриманий відповідь за допомогою Google. Скориставшись клавішею «^» на клавіатурі комп`ютера, введіть вираз в пошуковик, який моментально відобразить правильну відповідь (і, можливо, запропонує подібні вирази для вивчення).

Метод 2 з 3:

Додавання, віднімання, множення ступенів

1. Додавати і віднімати ступеня можна тільки в тому випадку, якщо у них однакові підстави. Якщо потрібно скласти ступеня з однаковими підставами і показниками, то ви можете замінити операцію складання операцією множення. Наприклад, дано вираз

45 + 4^{5}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Пам`ятайте, що ступінь

45

$4 ^ {5}$ можна представити у вигляді

1 * 4 5

$1 * 4 ^ {5}$ - таким чином,

45 + 4^{5} = 1 * 4^{5} + 1 * 4^{5} = 2 * 4^{5}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (Де 1 +1 = 2). Тобто порахуйте число подібних ступенів, а потім перемножте таку ступінь і це число. У нашому прикладі зведіть 4 в п`яту ступінь, а потім отриманий результат помножте на 2. Пам`ятайте, що операцію складання можна замінити операцією множення, наприклад,

3 + 3 = 2 * 3

. Ось інші приклади:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$45 + 4^{5} + 4^{5} = 3 * 4^{5}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$45 - 4^{5} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 x 2 - 2 з^{2} = 2 x^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 8

2. При перемножуванні ступенів з однаковим підставою їх показники складаються (підстава не змінюється). Наприклад, дано вираз

з 2 * з^{5}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . В цьому випадку потрібно просто скласти показники, залишивши підстава без змін. Таким чином,

з 2 * з^{5} = з^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Ось наочне пояснення цього правила:

з 2 * з^{5}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

з 2 = з * з

$x ^ {2} = x * x$

з 5 = з * з * з * x * x

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

з 2 * з^{5} = (з * з) * (з * з * з * з * з)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Так як підставу множиться саме на себе, то ми можемо уявити це в наступному вигляді:

з 2 * з^{5} = x * x * з * з * з * з * з

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$з 2 * з^{5} = з^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 9

3. При зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються. Наприклад, дана міра

(x 2)^{5}

$(X ^ {2}) ^ {5}$ . Так як показники ступеня перемножуються, то

(x 2)^{5} = x^{2 * 5} = x^{10}

$(X ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Сенс цього правила в тому, що ви примножуєте ступінь

(x 2)

$(X ^ {2})$ саму на себе п`ять разів. Ось так:

(x 2)^{5}

$(X ^ {2}) ^ {5}$

(x 2)^{5} = x^{2} * з^{2} * з^{2} * з^{2} * з^{2}

$(X ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Так як підставу одне і те ж, показники ступеня просто складаються: $(з 2)^{5} = з^{2} * з^{2} * x^{2} * x^{2} * x^{2} = x^{10}$ $(X ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 10

4. Ступінь з негативним показником слід перетворити в дріб (в зворотну ступінь). Не біда, якщо ви не знаєте, що таке зворотна ступінь. Якщо вам дана ступінь з негативним показником, наприклад,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , запишіть цю ступінь в знаменник дробу (у чисельнику поставте 1), а показник зробіть позитивним. У нашому прикладі:

\frac{1}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Ось інші приклади:

5 - 10 = \frac{1}{5} 10

$5 ^ {{- 10}} = { frac {1} {5 ^ {{10}}}}$

3 x - 4 = \frac{3}{x} 4

$3x ^ {{- 4}} = { frac {3} {x ^ {4}}}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 11

5. При розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники віднімаються (підстава при цьому не змінюється). Операція ділення протилежна операції множення. Наприклад, дано вираз

4 ч ч^{2}

${ Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Відніміть показник ступеня, що стоїть в знаменнику, з показника ступеня, що стоїть в чисельнику (підстава не міняйте). Таким чином,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${ Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = 16.

Ступінь, що стоїть в знаменнику, можна записати в такому вигляді:

\frac{1}{4} 2

${ Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Пам`ятайте, що дріб - це число (ступінь, вираз) з негативним показником ступеня.

Зображення з назвою Solve Exponents Step 12

6. Нижче наведені деякі вирази, які допоможуть вам навчитися вирішувати завдання зі ступенями. Наведені вирази охоплюють матеріал, викладений в цьому розділі. Для того, щоб побачити відповідь, просто виділіть порожній простір після знака рівності.

53

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

з 12 - 2 з^{1} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -x ^ 12

і 3 * і

$y ^ {3} * y$ =

і 4

$y ^ {4}$ Пам`ятайте, що будь-яке число - це ступінь з показником 1

(До 3)^{5}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

До 15

$Q ^ {1} 5$

р 5 р^{2}

${ Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

р 3

$r ^ {3}$

Метод 3 з 3:

Рішення задач з дробовими показниками ступеня

1. Ступінь з дробовим показником (наприклад, x12{ Displaystyle x ^ { frac {1} {2}}} $x ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ ) Перетворюється в операцію вилучення кореня. У нашому прикладі:

x \frac{1}{2}

$x ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{з}

. Тут неважливо, яке число стоїть в знаменнику дробового показника ступеня. наприклад,

з \frac{1}{4}

$x ^ {{{ frac {1} {4}}}}$ - це корінь четвертого ступеня з «х», тобто

з 4

Операція вилучення кореня є зворотною по відношенню до операції піднесення до степеня. Наприклад, якщо корінь $з 4$ звести в четверту ступінь, то ви отримаєте «х», так само як $164 = 2$ можна перевірити в такий спосіб: $24 = 16$ $2 ^ {4} = 16$ . Інший приклад: якщо $з 4 = 2$ , то $24 = з$ $2 ^ {4} = x$ - таким чином, $з = 2$ .

Зображення з назвою Solve Exponents Step 14

2. Якщо показник ступеня являє собою неправильну дріб, то такий ступінь можна розкласти на два ступені, щоб спростити рішення задачі. В цьому немає нічого складного - просто згадайте правило множення ступенів. Наприклад, дана міра

з \frac{5}{3}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}}$ . Перетворіть таку ступінь в корінь, ступінь якого буде дорівнює знаменника дрібного показника, а потім зведіть цей корінь в ступінь, рівну чисельнику дрібного показника. Щоб зробити це, згадайте, що

\frac{5}{3}

(\frac{1}{3}) * 5

. У нашому прикладі:

з \frac{5}{3}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}}$

з \frac{5}{3} = з^{5} * x^{\frac{1}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$

з \frac{1}{3} = з 3

$x ^ {{{ frac {1} {3}}}} = { sqrt [{3}] {x}}$

з \frac{5}{3} = x^{5} * з^{\frac{1}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$ = $(з 3)^{5}$ $({ Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Зображення з назвою Solve Exponents Step 15

3. Складайте, віднімання і перемножуємо дробові показники за загальними правилами. Простіше додавати і віднімати дробові показники ще до того, як ви перетворюєте ступеня в корені або в числа. Якщо дані ступеня з однаковими підставами і показниками, то вони складаються і віднімаються за загальними правилами. Якщо дані ступеня тільки з однаковими підставами, то їх можна множити і ділити (тільки якщо ви пам`ятаєте правила додавання і віднімання дробів). наприклад:

з \frac{5}{3} + з^{\frac{5}{3}} = 2 (з^{\frac{5}{3}})

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} + x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{ frac {5} {3}} }})$

з \frac{5}{3} * з^{\frac{2}{3}} = з^{\frac{7}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} * x ^ {{{ frac {2} {3}}}} = x ^ {{{ frac {7} {3}}}}$

Поради

Спрощення виразу - це приведення його до такої форми (за допомогою виконання математичних операцій), яку легше вирішити.
На деяких калькуляторах є кнопка для обчислення ступенів (спочатку потрібно ввести підставу, потім натиснути кнопку, а потім ввести показник). Вона позначається як ^ або x ^ y.
Пам`ятайте, що будь-яке число в першого ступеня дорівнює самому собі, наприклад, $41 = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ Більш того, будь-яке число, помножене або розділене на одиницю, так само самому собі, наприклад, $5 * 1 = 5$ і $5 / 1 = 5$ .
Знайте, що ступеня 0 не існує (такий ступінь не має рішення). При спробі вирішити таку ступінь на калькуляторі або на комп`ютері ви отримаєте помилку. Але пам`ятайте, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює 1, наприклад, $40 = 1.$ $4 ^ {0} = 1$
У вищій математиці, яка оперує уявними числами: $е а і з = з про з а з + і з i n а з$ $e ^ {a} ix = cosax + isinax$ , де $і = \sqrt{(} - 1)$ - е - константа, яка дорівнює 2,7 а - довільна постійна. Доказ цього рівності можна знайти в будь-якому підручнику з вищої математики.

попередження

При збільшенні показника ступеня її значення сильно зростає. Тому якщо відповідь здається вам неправильним, насправді він може виявитися вірним. Ви можете перевірити це, побудувавши графік будь-показовою функції, наприклад, 2.