Як спрощувати складові дробу: 9 кроків

Складова (багатоповерхова) дріб є дробом, в чисельнику і / або в знаменнику якої є дріб або кілька дробів. Спростити складову дріб можна швидко або не дуже - це залежить від кількості дробів в чисельнику і в знаменнику складовою дробу, а також від наявності в чисельнику і / або в знаменнику складовою дробу змінної і її виду.

кроки

Метод 1 з 2:

Як спростити складову дріб за допомогою множення на зворотну величину

1. Зробіть так, щоб в чисельнику і в знаменнику складовою дробу залишилося по одній звичайного дробу (якщо необхідно). Складову дріб, чисельник і знаменник якого містять по одній дробу, можна швидко спростити. Таким чином, якщо в чисельнику і / або в знаменнику складовою дробу є вираження з дробом або з дробом і цілими числами, спростите ці вирази до однієї дробу. Щоб спростити вирази з дробом, обчисліть найменший спільний знаменник (НСЗ).

Наприклад, спростимо складову дріб (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Спочатку спростите вираження в чисельнику і в знаменнику до однієї дробу.

У дробів в чисельнику НСЗ = 15. Таким чином, дріб 3/5 запишеться так: 3/5 * 3/3 = 9/15, а все вираз так: 9/15 + 2/15 = 11/15.
У дробів в знаменнику НСЗ = 70. Таким чином, дробу запишуться так: 5/7 * 10/10 = 50/70 і 3/10 * 7/7 = 21/70, а все вираз так: 50/70 - 21/70 = 29/70.
Вийшла складова дріб (11/15) / (29/70).

2. Поміняйте місцями чисельник і знаменник дробу в знаменнику, щоб отримати зворотній дріб. Пам`ятайте, що поділ першого значення на друге рівносильно множенню першого значення на зворотну величину другого значення. Зараз в чисельнику і в знаменнику даної складовою дробу є по одній дробу, тому таку складову дріб можна спростити за допомогою зворотного дробу. Для цього запишіть зворотний дріб для дробу, яка знаходиться в знаменнику складовою дроби - просто поміняйте місцями чисельник і знаменник.

В отриманій складовою дробу (11/15) / (29/70) дріб в знаменнику 29/70. Помінявши місцями чисельник і знаменник, ви отримаєте зворотний дріб 70/29.

Майте на увазі, що якщо в знаменнику складовою дробу є ціле число, просто розділіть на нього 1, щоб знайти зворотну дріб. Наприклад, в знаменнику складовою дробу (11/15) / (29) є число 29. Це число запишіть як дріб 29/1, а зворотна їй дріб - 1/29.

3. Помножте дріб, яка знаходиться в чисельнику складовою дробу, на зворотну дріб. Так ви отримаєте одну звичайну дріб. Щоб перемножити дробу, спочатку перемножте їх чисельники, а потім їх знаменники.

У прикладі перемножте 11/15 і 70/29, тобто 11 * 70 = 770 і 15 * 29 = 435. Таким чином, вийде дріб 770/435.

4. Спростіть нову дріб. Отже, складова дріб спрощена до однієї звичайного дробу, яку, швидше за все, можна теж спростити. Для цього обчисліть найбільший спільний дільник (НОД) чисельника і знаменника, а потім розділіть на НОД чисельник і знаменник нової дробу.

НОД чисел 770 і 435 дорівнює 5. Тому розділіть чисельник і знаменник нової дробу на 5, щоб отримати дріб 154/87. У чисел 154 і 87 немає спільних дільників, тому остаточну відповідь - це дріб 154/87.

Метод 2 з 2:

Як спростити складову дріб зі змінною

1. Якщо можна, скористайтеся методом множення на зворотну величину, який описаний вище. За допомогою цього методу практично будь-яку складову дріб можна спростити до однієї дробу. Складова дріб зі змінною не є винятком, але чим складніше вираз зі змінною, тим важче використовувати метод множення на зворотну величину. Якщо вираз зі змінною досить просте, застосуєте метод множення на зворотну велічіну- якщо ж вираз зі змінною складне або є кілька змінних, використовуйте альтернативний метод, описаний нижче.

Наприклад, дріб (1 / х) / (х / 6) можна швидко спростити за допомогою множення на зворотну величину: (1 / х) * (6 / г) = 6 / х. В цьому випадку альтернативний метод використовувати не доведеться.
Але дріб (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) складно спростити за допомогою множення на зворотну величину. Тобто важко спростити вирази в чисельнику і знаменнику до дробів, а потім помножити їх на зворотну дріб і спростити отриману дріб.Тому в цьому випадку скористайтеся методом, який описаний далі.

2. Спочатку знайдіть найменший спільний знаменник всіх дробів, які знаходяться в чисельнику і знаменнику складовою дроби. Якщо одна або кілька дробів включають змінну, просто перемножте їх знаменники, щоб обчислити найменший спільний знаменник (НСЗ).

Наприклад, спростимо складову дріб (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). У даній складовою дробу присутні дві дробу: (1) / (х +3) і (1) / (х-5). Найменшим спільним знаменником цих дробів буде твір їх знаменників: (х +3) (х-5).

3. Помножте складову дріб на обчислений НСЗ. Тобто кожен член чисельника і знаменника складовою дробу помножте на НСЗ. Таким чином, складову дріб потрібно помножити на дріб (НСЗ) / (НСЗ) - в цьому випадку значення вихідної дробу не поміняється, тому що (НСЗ) / (НСЗ) = 1.

У прикладі помножте складову дріб (((1) / (х +3)) + х - 10) / (х +4 + ((1) / (х - 5))) на дріб ((х +3) (х -5)) / ((х +3) (х-5)).

Спочатку помножте чисельник: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)

= (((X + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))

= (X-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))

= (X-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)

= (X-5) + x - 12x + 5x + 150

= x - 12x + 6x + 145

4. Тепер помножте знаменник складовою дробу на обчислений НСЗ. Помножте кожен член знаменника на НСЗ (як робили це з чисельником).

Знаменником складовою дробу (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) є x +4 + ((1) / (x -5)). Помножте цю дріб на НСЗ = (x + 3) (x-5).

(X +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)

= X ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).

= X (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)

= X - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)

= X + 2x - 23x - 60 + (x + 3)

= x + 2x - 22x - 57

5. Запишіть отриману дріб. Коли ви помножите дану складову дріб на дріб (НСЗ) / (НСЗ) і приведете подібні члени, вийде звичайна дріб. Зверніть увагу, що якщо вихідну складову дріб помножити на НСЗ, можна позбутися від дробів в чисельнику і знаменнику, тобто в чисельнику і знаменнику отриманої дробу будуть тільки цілі числа і змінні (без будь-яких дробів).

Отже, ви отримали два вирази, які потрібно записати в знаменник і в чисельник нової дробу, яка буде дорівнює вихідної складовою дробу, але не буде містити дробові члени. Вираз x - 12x + 6x + 145 запишіть в чисельник, а вираз x + 2x - 22x - 57 в знаменник. Тобто нова дріб запишеться так: (X - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Поради

Записуйте все обчислення. Якщо не записувати кожен етап обчислень, а робити все в розумі, можна заплутатися.
У підручнику або в інтернеті знайдіть приклади складових дробів і спростите їх.