Як знайти точки перегину кривої

У диференціальному обчисленні точка перегину - ця точка кривої, в якій її кривизна змінює знак (з плюса на мінус або з мінуса на плюс). Це поняття використовується в машинобудуванні, економіці і статистиці для визначення істотних змін в даних.

кроки

Метод 1 з 3:

Частина 1: Визначення точки перегину

1. Визначення увігнутою функції. Середина будь хорди (відрізок, що з`єднує дві точки) графіка увігнутою функції лежить або під графіком, або на ньому.

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 2

2. Визначення опуклої функції. Середина будь хорди (відрізок, що з`єднує дві точки) графіка опуклою функції лежить або над графіком, або на ньому.

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 3

3. Визначення коренів функції. Корінь функції - це таке значення змінної «х», при якому у = 0.

При побудові графіка функції коріння - це точки, в яких графікпересекает вісь Х.

Метод 2 з 3:

Обчислення похідних функції

1. Знайдіть першу похідну функції. Подивіться правила диференціювання в учебніке- ви повинні навчитися брати перші похідні, і тільки потім переходити до більш складних обчислень. Перші похідні позначаються як f `(х). Для виразів виду ax ^ p + bx ^ (p-1) + cx + d перша похідна має вигляд: apx ^ (p-1) + b (p - 1) x ^ (p-2) + c.

Наприклад, знайдіть точки перегину функції f (х) = х ^ 3 + 2х -1. Перша похідна цієї функції має вигляд:

f `(x) = (x ^ 3 + 2x - 1)` = (x ^ 3) `+ (2x)` - (1) `= 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 5

2. Знайдіть другу похідну функції. Друга похідна - це похідна від першої похідної вихідної функції. Друга похідна позначається як f `` (x).

У наведеному вище прикладі друга похідна має вигляд:

f `` (x) = (3x2 + 2) `= 2 × 3 × x + 0 = 6x

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 6

3. Прирівняти другу похідну до нуля і вирішите отримане рівняння. Отриманий результат буде передбачуваною точкою перегину.

У наведеному вище прикладі ваш розрахунок виглядає наступним чином:

f `` (x) = 0
6x = 0
x = 0

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 7

4. Знайдіть третю похідну функції. Щоб переконатися, що отриманий результат насправді є точкою перегину, знайдіть третю похідну, яка є похідною від другої похідної вихідної функції. Третя похідна позначається як f `` `(x).

У наведеному вище прикладі третя похідна має вигляд:

f `` `(x) = (6x)` = 6

Метод 3 з 3:

Частина 3: Пошук точки перегину

1. Перевірте третю похідну. Стандартне правило оцінки передбачуваної точки перегину: якщо третя похідна не дорівнює нулю (тобто f `` `(x) ≠ 0), то передбачувана точка перегину є справжньою точкою перегину. Перевірте третю проізводную- якщо вона не дорівнює нулю, то ви знайшли справжню точку перегину.

У наведеному вище прикладі третя похідна дорівнює 6, а не 0. Тому ви знайшли справжню точку перегину.

Зображення з назвою Find Inflection Points Step 9

2. Знайдіть координати точки перегину. Координати точки перегину позначаються як (x, f (x)), де х - значення незалежної змінної «х» в точці перегину, f (х) - значення залежної змінної «у» в точці перегину.

У наведеному вище прикладі при прирівнювання другої похідної до нуля ви знайшли, що х = 0. Таким чином, щоб визначити координати точки перегину, знайдіть f (0). Ваш розрахунок виглядає наступним чином:

f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0-1 = -1.