Як побудувати графік функції

Графік функції - це наочне уявлення поведінки деякої функції на координатної площині. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити по самій функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана визначеної формули. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).

кроки

Метод 1 з 3:

Побудова графіка лінійної функції

1. Визначте, чи є функція лінійної. Лінійна функція задається формулою виду

F (x) = k x + b

або

y = k x + b

(наприклад,

y = 2 x + 5

), А її графік є прямою. Таким чином, формула включає одну змінну і одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня і тому подібного. Якщо дана функція аналогічного виду, побудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:

$F (n) = 4 - 2 n$
$y = 3 t - 120$
$F (x) = \frac{2}{3} x + 3$ $F (x) = { frac {2} {3}} x + 3$

2. Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y. Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо в формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі

y = 2 x + 5

константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.

3. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої. Він дорівнює множнику при змінної. У нашому прикладі

y = 2 x + 5

при змінної «х» знаходиться множник 2 таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або убуває функція.

4. Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу. Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу, тобто відношенню вертикального відстані (між двома точками на прямій) до горизонтального відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна сказати, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це в вигляді дробу:

\frac{2}{1}

Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція спадає.

5. Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функції можна побудувати за двома точками. У нашому прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5) - від цієї точки пересуньтеся на 2 поділу вгору, а потім на 1 розподіл вправо. Відзначте точку- вона матиме координати (1,7). Тепер можна провести пряму.

6. За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки. Щоб уникнути помилок знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати за двома точками. Таким чином, ви побудували графік лінійної функції.

Метод 2 з 3:

Нанесення точок на координатну площину

1. Визначте функцію. Функція позначається як f (x). Всі можливі значення змінної «у» називаються областю значень функції, а всі можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x + 2, а саме f (x) = x + 2.

2. Намалюйте дві пересічні перпендикулярні прямі. Горизонтальна пряма - це вісь Х. Вертикальна пряма - це вісь Y.

3. Позначте осі координат. Розбийте кожну вісь на рівні відрізки і пронумеруйте їх. Точка перетину осей - це 0. Для осі Х: справа (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: зверху (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.

4. Знайдіть значення «у» за значеннями «х». У нашому прикладі f (x) = х + 2. Підставте в цю формулу певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростите її, відокремити «у» на одному боці рівняння.

-1: -1 + 2 = 1

0: 0 +2 = 2

1: 1 + 2 = 3

5. Нанесіть точки на координатну площину. Для кожної пари координат зробіть наступне: знайдіть відповідне значення на осі Х і проведіть вертикальну лінію (пунктиром) - Знайдіть відповідне значення на осі Y і проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній- таким чином, ви завдали точку графіка.

6. Зітріть пунктирні лінії. Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f (х) = х являє собою пряму, що проходить через центр координат [точку з координатами (0,0)] - графік f (х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямій f (х) = х , але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (тому що постійна дорівнює 2).

Метод 3 з 3:

Побудова графіка складної функції

1. Запам`ятайте алгоритм побудови графіків поширених функцій. Методів побудови графіків так само багато, як типів функцій. Якщо ви забули, як будувати графіки певних функцій, прочитайте наступні статті про:

квадратному рівнянні
раціональної функції
логарифмічному рівнянні
нерівностях (Це не функції, але інформація не буде зайвою).

2. Знайдіть нулі функції. Нулі функції - це значення змінної «х», при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі функції, прирівняти її до нуля. наприклад:

F (x) = 2 x 2 - 18

$F (x) = 2x ^ {2} -18$

Прирівняти F (x) до нуля:

0 = 2 x 2 - 18

$0 = 2x ^ {2} -18$

Розв`яжіть рівняння:

0 = 2 x 2 - 18

$0 = 2x ^ {2} -18$

18 = 2 x 2

$18 = 2x ^ {2}$

9 = x 2

$9 = x ^ {2}$

x 1 = 3, x 2 = - 3

3. Знайдіть і позначте горизонтальні асимптоти. Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій області функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоти відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться в знаменнику дробу (наприклад,

y = 1 4 - x 2

$y = { frac {1} {4-x ^ {2}}}$ ), Прирівняти знаменник до нуля і знайдіть «х». В отриманих значення змінної «х» функція не визначена (в нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують не тільки у випадках, коли функція містить дробове вираження. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом:

Деякі функції, змінні яких зводяться в квадрат (наприклад,

F (n) = n 2

$F (n) = n ^ {2}$ ), Не можуть мати негативні значення. В цьому випадку асимптота проходить через n = 0.

Якщо ви не працюєте з уявними числами, не можна витягти квадрат з негативного числа (

\sqrt{- 1}

)

Складні показові функції можуть мати безліч асимптот.

4. Знайдіть координати декількох точок і нанесіть їх на координатну площину. Просто виберіть кілька значень «х» і підставте їх в функцію, щоб знайти відповідні значення «у». Потім нанесіть точки на координатну площину. Чим складніше функція, тим більше точок потрібно знайти і нанести. У більшості випадків підставте х = -1- х = 0 х = 1, але якщо функція складна, знайдіть по три точки з кожного боку від початку координат.

У разі функції

y = 5 x 2 + 6

$y = 5x ^ {2} +6$ підставте наступні значення «х»: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Ви отримаєте достатню кількість точок.

Вибирайте значення «х» з розумом. У нашому прикладі нескладно зрозуміти, що негативний знак не грає ролі: значення «у» при х = 10 і при х = -10 буде одним і тим же.

5. Визначте поведінку функції при великих значення змінної «х». Так можна знайти загальний напрямок графіка функції, який іноді до нескінченності наближається до асимптоти. Наприклад, неважко здогадатися, що графік функції

y = x 2

$y = x ^ {2}$ зростає до нескінченності: при збільшенні величезного значення «х» всього-на-всього на 1 (з 1000000 на 1000001), значення «у» збільшиться на набагато більшу величину. Визначити поведінку функції при великих значення «х» можна кількома способами:

У функцію підставте 2-4 великих значення «х» (половину негативних і половину позитивних), а потім отримані точки нанесіть на координатну площину.

Подумайте, що буде, якщо замість «х» підставити «нескінченність»? Значення «у» буде нескінченно великою або нескінченно малим?

Якщо в функції показники ступеня однакові (наприклад,

F (x) = x 3 - 2 x 3 + 4

$F (x) = { frac {x ^ {3}} {- 2x ^ {3} +4}}$ ), Розділіть множники при «х» (

1 - 2

), Щоб знайти асимптоти (-0,5).

Якщо в функції показники ступеня різні, розділіть вираз, що стоїть в чисельнику, на вираз, що стоїть в знаменнику.

6. З`єднайте точки (5-6 точок), щоб побудувати графік функції. При цьому графік не повинен перетинати (і стосуватися) асимптоти. Графік продовжите відповідно до знайденим поведінкою функції при великих значеннях змінної «х».

7. Побудуйте досконалий графік за допомогою графічного калькулятора. Графічні калькулятори є потужні кишенькові комп`ютери, за допомогою яких можна побудувати точний графік будь-якої функції. Такі калькулятори здатні знаходити точні координати точок і кутові коефіцієнти прямих, а також швидко будувати графіки найскладніших функцій. Просто введіть точну формулу функції (зазвичай це робиться за допомогою клавіші «F (х) =») і натисніть відповідну клавішу, щоб побудувати графік.

Поради

Практикуйте ваші навички з використанням графіческіхкалькуляторов. Спочатку спробуйте побудувати графік вручну, а потім скористайтеся калькулятором, щоб отримати точний графік і порівняти обидва результату.
Якщо ви не знаєте, що робити, почніть з підстановки в функцію різних значень «х», щоб знайти значення «у» (і, отже, координати точок). Теоретично графік функції можна побудувати за допомогою тільки цього методу (якщо, звичайно, підставити нескінченну різноманітність значень «х»).