Як обчислити миттєву швидкість: 11 кроків

швидкість - це швидкість переміщення об`єкта в заданому напрямку.У загальних цілях знаходження швидкості об`єкта (v) - просте завдання: потрібно розділити переміщення (s) протягом певного часу (s) на цей час (t), тобто скористатися формулою v = s / t. Проте у такий спосіб отримують середню швидкість тіла. Використовуючи деякі обчислення, можна знайти швидкість тіла в будь-якій точці шляху. Така швидкість називається миттєвою швидкістю і обчислюється за формулою в = (дс) / (дт), тобто являє собою похідну від формули для обчислення середньої швидкості тіла.

кроки

Частина 1 з 3:

Обчислення миттєвої швидкості

1. Почніть з рівняння. Для обчислення миттєвої швидкості необхідно знати рівняння, що описує переміщення тіла (його позицію в певний момент часу), тобто таке рівняння, на одній стороні якого знаходиться s (переміщення тіла), а на іншій стороні - члени зі змінною t (час). наприклад:

з = -1.5t + 10t + 4

У цьому рівнянні:
Переміщення = s. Переміщення - пройдений об`єктом шлях. Наприклад, якщо тіло перемістилося на 10 м вперед і на 7 м назад, то загальне переміщення тіла дорівнює 10 - 7 = 3 м (А на 10 + 7 = 17 м).
Час = t. Зазвичай вимірюється в секундах.

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 2

2. Обчисліть похідну рівняння. Щоб знайти миттєву швидкість тіла, чиї переміщення описуються наведеним вище рівнянням, потрібно обчислити похідну цього рівняння. Похідна - це рівняння, що дозволяє обчислити нахил графіка в будь-якій точці (в будь-який момент часу). Щоб знайти похідну, продіфференціруйте функцію наступним чином: якщо y = a * x, то похідна = a * n * x. Це правило застосовується до кожного члена многочлена.

Іншими словами, похідна кожного члена зі змінною t дорівнює добутку множника (що стоїть перед змінної) і ступеня змінної, помноженому на змінну в ступеня, дорівнює початковій ступеня мінус 1. Вільний член (член без змінної, тобто число) зникає, тому що множиться на 0. У нашому прикладі:

з = -1.5t + 10t + 4
(2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
-3t + 10t
-3t + 10

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 3

3. замініть "з" на "ds / dt", щоб показати, що нове рівняння - це похідна від вихідного рівняння (тобто похідна s від t). Похідна - це нахил графіка в певній точці (в певний момент часу). Наприклад, щоб знайти нахил лінії, описуваної функцією s = -1.5t + 10t + 4 при t = 5, просто підставте 5 в рівняння похідної.

У нашому прикладі рівняння похідної має виглядати наступним чином:

ds / dt = -3t + 10

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 4

4. У рівняння похідної підставте відповідне значення t, щоб знайти миттєву швидкість в певний момент часу. Наприклад, якщо ви хочете знайти миттєву швидкість при t = 5, просто підставте 5 (замість t) в рівняння похідної ds / dt = -3 + 10. Потім вирішите рівняння:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 м / с

Зверніть увагу на одиницю виміру миттєвої швидкості: м / с. Так як нам дано значення переміщення в метрах, а час - у секундах, і швидкість дорівнює відношенню переміщення до часу, то одиниця вимірювання м / с - правильна.

Частина 2 з 3:

Графічна оцінка миттєвої швидкості

1. Побудуйте графік переміщення тіла. У попередньому розділі ви вираховували миттєву швидкість за формулою (рівняння похідної, що дозволяє знайти нахил графіка в певній точці). Побудувавши графік переміщення тіла, ви можете знайти його нахил в будь-якій точці, а отже визначити миттєву швидкість в певний момент часу.

По осі Y відкладайте переміщення, а по осі X - час. Координати точок (x, у) отримаєте через підстановку різних значень t в вихідне рівняння переміщення і обчислення відповідних значень s.
Графік може опускатися нижче осі X. Якщо графік переміщення тіла опускається нижче осі X, то це означає, що тіло рухається в зворотному напрямку від точки початку руху. Як правило, графік не поширюється за вісь Y (негативні значення x) - ми не вимірюємо швидкості об`єктів, що рухаються назад в часі!

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 6

2. Виберіть на графіку (кривій) точку P і близьку до неї точку Q. Щоб знайти нахил графіка в точці P, використовуємо поняття межі. Межа - стан, при якому величина січною, проведеної через 2 точки P і Q, що лежать на кривій, прагне до нуля.

Наприклад, розглянемо точки П (1,3) і Q (4,7) і обчислимо миттєву швидкість в точці P.

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 7

3. Знайдіть нахил відрізка PQ. Нахил відрізка PQ дорівнює відношенню різниці значень координат «у» точок P і Q до різниці значень координат «х» точок P і Q. Іншими словами, H = (y_До - і_П) / (X_До - з_П), де H - нахил відрізка PQ. У нашому прикладі нахил відрізка PQ дорівнює:

H = (y_До - і_P) / (X_Q - з_П)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 8

4. Повторіть процес кілька разів, наближаючи точку Q до точки P. Чим менше відстань між двома точками, тим ближче значення нахилу отриманих відрізків до нахилу графіка в точці P. У нашому прикладі виконаємо обчислення для точки Q з координатами (2,4.8), (1.5,3.95) і (1.25,3.49) (координати точки P залишаються колишніми):

Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (.5) = 1.я

Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (.25) = 1.96

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 9

5. Чим менше відстань між точками P і Q, тим ближче значення H до нахилу графіка в точці P При гранично малій відстані між точками P і Q, значення H дорівнюватиме нахилу графіка в точці P Так як ми не можемо виміряти або обчислити гранично малу відстань між двома точками, графічний спосіб дає оціночне значення нахилу графіка в точці Р.

У нашому прикладі при наближенні Q до P ми отримали наступні значення H: 1.8- 1.9 і 1.96. Так як ці числа прагнуть до 2, то можна сказати, що нахил графіка в точці P дорівнює 2.

Пам`ятайте, що нахил графіка в даній точці дорівнює похідної функції (по якій побудований цей графік) в цій точці. Графік відображає переміщення тіла з плином часу і, як зазначалося в попередньому розділі, миттєва швидкість тіла дорівнює похідною від рівняння переміщення цього тіла. Таким чином, можна заявити, що при t = 2 миттєва швидкість дорівнює 2 м / с (Це оцінне значення).

Частина 3 з 3:

приклади

1. Обчисліть миттєву швидкість при t = 4, якщо переміщення тіла описується рівнянням s = 5t - 3t + 2t + 9. Цей приклад схожий на завдання з першого розділу з тією лише різницею, що тут дано рівняння третього порядку (а не другого).

Спочатку обчислимо похідну цього рівняння:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2
Тепер підставимо в рівняння похідної значення t = 4:
з = 15ть - шт + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 м / с

Зображення з назвою Calculate Instantaneous Velocity Step 11

2. Оцінимо значення миттєвої швидкості в точці з координатами (1,3) на графіку функції s = 4t - t. У цьому випадку точка P має координати (1,3) і необхідно знайти кілька координат точки Q, що лежить близько до точки P. Потім обчислимо H і знайдемо оціночні значення миттєвої швидкості.

Спочатку знайдемо координати Q при t = 2, 1.5, 1.1 і 1.01.

з = чт - т

t = 2: з = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, з Q = (2,14)

t = 1.5: з = 4 (1.5) - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = я - 1.5 = 7.5, з Q = (1.5,7.5)

t = 1.1: з = 4 (1.1) - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, зі Q = (1.1,3.74)

t = 1.01: з = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, зі Q = (1.01,3.0704)

Тепер обчислимо H:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.5) / (.5) = я

Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
H = (.74) / (.1) = 7.3

Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04

Так як отримані значення H прагнуть до 7, то можна сказати, що миттєва швидкість тіла в точці (1,3) дорівнює 7 м / с (Оцінне значення).

Поради

Щоб знайти прискорення (зміна швидкості з плином часу), використовуйте метод з першої частини, щоб отримати похідну функції переміщення. Потім візьміть ще раз похідну від отриманої похідною. Це дасть вам рівняння для знаходження прискорення в даний момент часу - все, що вам потрібно зробити, це підставити значення для часу.
Рівняння, що описує залежність у (переміщення) від x (час), може бути дуже простим, наприклад: у = 6x + 3. В цьому випадку нахил є постійним і не треба брати похідну, щоб його знайти. Відповідно до теорії лінійних графіків, їх нахил рівний коефіцієнту при змінної x, тобто в нашому прикладі = 6.
Переміщення подібно відстані, але воно має певний напрям, що робить його векторною величиною. Переміщення може бути негативним, в той час як відстань буде тільки позитивним.