Як зрозуміти одиничну окружність: 12 кроків

Одиничне коло є чудовим інструментом при тригонометричних операціях- якщо ви дійсно зрозумієте дії з одиничною окружністю, тригонометрія дасться вам набагато легше.

кроки

Знайдіть і запам`ятайте значення шести тригонометричних функцій для кутів, що лежать на координатних осях, тобто кутів, кратних π / 2, таких як 0, π / 2, π, 3π / 2, 2π і т.д. Для точок кола, які перебувають на координатних осях, це не становить жодних проблем. Якщо точка лежить на осі Оx, синус дорівнює нулю, а косинус - 1 або -1, в залежності від напрямку. Якщо ж точка лежить на осі Оy, синус дорівнюватиме 1 або -1, а косинус - 0.

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π / 6. Нанесіть кут π / 6 на одиничну окружність. Ви знаєте, як знаходити довжини всіх сторін особливих прямокутних трикутників (з кутами 30-60-90 та 45-45-90) за відомою довжині однієї зі сторін, а оскільки π / 6 = 30 градусів, даний трикутник є одним з особливих випадків. Для нього, як ви пам`ятаєте, короткий катет дорівнює 1/2 гіпотенузи, тобто координата y становить 1/2, а довгий катет довше короткого в √3 раз, тобто дорівнює (√3) / 2, так що координата x буде ( √3) / 2. Таким чином, отримуємо точку на одиничному колі з наступними координатами: ((√3) / 2,1 / 2). Користуючись наведеними вище равенствами, знаходимо:

sinπ / 6 = 1/2

cosπ / 6 = (√3) / 2

tgπ / 6 = 1 / (√3)

cosecπ / 6 = 2

secπ / 6 = 2 / (√3)

ctgπ / 6 = √3

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π / 3. Кут π / 3 відображається на окружності точкою, у якій координата x дорівнює координаті y кута π / 6, а координата y така ж, як x для цього кута. Таким чином, точка має координати (1/2, √3 / 2). В результаті отримуємо:

sinπ / 3 = (√3) / 2

cosπ / 3 = 1/2

tgπ / 3 = √3

cosecπ / 3 = 2 / (√3)

secπ / 3 = 2

ctgπ / 3 = 1 / (√3)

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута π / 4. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з кутами 45-45-90 відноситься до довжин його катетів як √2 до 1, так само будуть співвідноситися і значення координат точки на одиничному колі. У підсумку маємо:

sinπ / 4 = 1 / (√2)

cosπ / 4 = 1 / (√2)

tgπ / 4 = 1

cosecπ / 4 = √2

secπ / 4 = √2

ctgπ / 4 = 1

Використовуйте правильне значення кута. Ви вже знайшли значення основних тригонометричних функцій для трьох особливих кутів, але зробили це лише для першого квадранта. Якщо вам необхідно обчислити значення функцій для більшого або меншого кута, спочатку визначте, до якого "сімейства" належить даний кут. Наприклад, кут π / 3 входить в той же сімейство, що і кути 2π / 3, 4π / 3 і 5π / 3. Загальне правило при цьому полягає в тому, щоб якомога більше скоротити чисельник і знаменник, а потім подивитися на значення знаменника.

Якщо воно дорівнює 3, кут відноситься до сімейства π / 3

Якщо 6, то до сімейства π / 6

Якщо 2 - до сімейства π / 2

Якщо знаменник скоротився повністю, наприклад залишилося π або 0, кут належить до сімейства π

Якщо 4, то це сімейство π / 4

Визначте, позитивно або негативно значення функції. Всі кути, що належать одному сімейству, дають однакові абсолютні значення тригонометричних функцій, але ці значення можуть відрізнятися за знаком (одне бути позитивним, друге - негативним).

Якщо кут знаходиться в першому квадранті, все тригонометричні функції мають позитивні значення.

Для кута у другому квадраті всі функції, за винятком sin і cosec, негативні.

У третьому квадранті значення всіх функцій, крім tg і ctg, менше нуля.

У четвертому квадранті всі функції, за винятком cos і sec, мають негативні значення.