Як взяти інтеграл: 9 кроків (з ілюстраціями)

Інтегрування є операцією, зворотною диференціювання. Інтеграл є площею частини графіка, обмеженого межами інтегрування і осями координат. Існують різні правила інтегрування в залежності від виду многочлена.

кроки

Метод 1 з 2:

простий інтеграл

1. Це просте правило взяття інтегралів вірно для більшості многочленів. Наприклад, дано вираз y = a * x ^ n.

2. Розділіть а (коефіцієнт) на n + 1 (ступінь + 1) і збільште ступінь на 1. Іншими словами, інтегрування y = a * x ^ nдает y = (a / n + 1) * x ^ (n + 1).

3. Додайте постійну інтегрування С в разі невизначених інтегралів для корекції невизначеності щодо точного значення. Таким чином, остаточна відповідь в даному випадку записується як: y = (a / n + 1) * x ^ (n + 1) + C.

Задумайтесь: коли ви діфференціруете функцію, будь-які постійні просто знищуються (за правилами диференціювання). Таким чином, інтеграл має деяку довільну постійну.

4. Інтегрування окремих членів в многочлене. Як приклад, візьмемо інтеграл від y = 4x ^ 3 + 5x ^ 2 + 3x: (4/4) x ^ 4 + (5/3) * x ^ 3 + (3/2) * x ^ 2 + C = x ^ 4 + (5/3) * x ^ 3 + (3/2) * x ^ 2 + C.

Метод 2 з 2:

інші правила

1. Правила, описані вище, не застосовуються, коли вам дано х ^ -1ілі 1 / х. При інтеграції змінної в ступеня (-1) інтегралом буде натуральний логарифм змінної. Іншими словами, інтеграл від (x + 3) ^ - 1 дорівнює ln (x + 3) + C.

2. Інтеграл від е ^ х дорівнює самому собі. Інтеграл від e ^ (nx) дорівнює 1 / n * e ^ (nx) + C- тому, інтеграл від e ^ (4x) дорівнює 1/4 * e ^ (4x) + C.

3. Інтегрування тригонометричних функцій вимагає запам`ятовування. Ви повинні запам`ятати наступні інтеграли:

Інтеграл від cos (x) дорівнює sin (x) + C. Зображення з назвою Integrate Step 7Bullet1

Інтеграл від sin (x) дорівнює -cos (x) + C. (Зверніть увагу на знак мінус) Зображення з назвою Integrate Step 7Bullet2

Скориставшись цими двома правилами, ви можете отримати інтеграл від tan (x) (який дорівнює sin (x) / cos (x)): -ln | cos x | + C Зображення з назвою Integrate Step 7Bullet3

Зображення з назвою Integrate Step 7Bullet3

4. У разі більш складних многочленів, таких як (3x-5) ^ 4, застосовується інтегрування заміною змінної. Цей метод вводить нову змінну, наприклад u, яка замінює складну початкову змінну, наприклад, 3x -5, щоб спростити процес, застосувавши основні правила інтегрування.

5. Щоб інтегрувати дві перемножуємо функції, застосовується інтегрування по частинах.