Як знайти моду в безлічі чисел: 8 кроків

У статистиці модою в безлічі чисел називається число, яке зустрічається в цій множині найбільш часто. Мод може бути кілька: якщо в наборі даних однаково часто зустрічаються два або більше різних числа, його називають відповідно бімодальному або мультимодальних - іншими словами, все значення, що зустрічаються максимальне число раз, утворюють моди даного безлічі. В даній статті описано, як знайти моду (моди) безлічі.

кроки

Метод 1 з 2:

Визначення моди безлічі чисел

1. Запишіть числа безлічі. Моду зазвичай визначають на наборі статистичних даних або безлічі чисельних значень. Таким чином, для знаходження моди вам знадобиться набір чисел. Моду складно визначити в розумі, якщо чисел досить багато, тому в більшості випадків краще записати всі числа або набрати їх на комп`ютері. Якщо у вас є олівець і папір, досить записати всі числа. Якщо ж ви працюєте за комп`ютером, зручніше використовувати Excel.

Метод визначення моди легше зрозуміти на прикладі. Розглянемо в даному розділі наступний набір чисел: {18, 21, 11, 21, 15, 19, 17, 21, 17}. У наведених нижче кроках ми знайдемо моду цього безлічі.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 2

2. Розмістіть числа в порядку зростання. Після того як ви випишете все числа, корисно переписати їх у порядку зростання. Хоча можна обійтися і без цього, так знайти моду буде простіше, оскільки однакові числа розташуються поруч. Для великих наборів даних це просто необхідно, так як спроба переглянути невпорядкований список і підрахувати, скільки разів кожне число з`являється в ньому, досить трудомістка і може привести до помилок.

Якщо ви використовуєте олівець і папір, переписування допоможе вам заощадити час надалі. Перегляньте числа, знайдіть найменше значення, викресліть його з початкового числа й занесіть в новий список. Повторіть те ж саме для другого, потім для третього найменшого числа і так далі, при цьому записуйте кожне число стільки раз, скільки воно зустрічається у вихідному наборі даних.

Комп`ютер надає більше можливостей - наприклад, в більшості програм для роботи з електронними таблицями можна впорядкувати список значень від найменшого до найбільшого всього лише кількома клацаннями миші.

У нашому прикладі після впорядкування отримуємо наступну послідовність чисел: {11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 3

3. Підрахуйте, скільки разів повторюється кожне число. Після того як ви перепишете значення в порядку зростання, підрахуйте, скільки раз зустрічається кожне число. Пошукайте число, яке найчастіше трапляється в списку. Якщо чисел порівняно небагато і вони розташовані в порядку зростання, це досить просто: знайдіть найбільшу групу однакових значень і підрахуйте, скільки разів вони повторюються.

Якщо ви використовуєте олівець і папір, спробуйте записати над кожною групою однакових чисел, скільки разів вони повторюються. Якщо ви користуєтеся комп`ютерною програмою для роботи з електронними таблицями, можна вчинити подібним чином: запишіть результати підрахунків в сусідні осередки або використовуйте одну з опцій для аналізу даних.

У нашому списку ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) 11 і 15 зустрічаються по одному разу, 17 попадається двічі, 18 і 19 зустрічаються по одному разу, а 21 зустрічається три рази. Таким чином, в даному наборі значень найчастіше зустрічається число 21.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 4

4. Визначте значення (або значення), які зустрічаються найбільш часто. Після того як ви підрахуєте, скільки разів зустрічається кожне число, знайдіть значення, які повторюються найбільшу кількість разів. Це і є мода даної множини. Пам`ятайте, що набір чисел може мати не одну, а кілька мод. Якщо в безлічі найбільш часто зустрічаються два числа (тобто вони повторюються однакову кількість разів), таку силу-силенну називають бімодальному, якщо три числа - трімодальним і так далі.

У нашому безлічі ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) найбільш часто зустрічається значення 21, тому 21 є модою.

Якби крім 21 знайшлося ще одне число, яке також зустрічається три рази, (наприклад, якби безліч включало ще одне число 17), то воно поряд з 21 було б модою.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 5

5. Не плутайте моду безлічі чисел з його середнім значенням і медіаною. При статистичному аналізі часто розглядають разом такі поняття, як середнє значення, медіана і мода. Їх легко сплутати, так як вони мають схожі назви і іноді їх значення збігаються. Однак незалежно від того, збігається чи ні мода безлічі з його медіаною або середнім значенням, слід пам`ятати, що це три абсолютно різних поняття (дивіться нижче).

Щоб знайти середнє значення безлічі, слід скласти всі числа і поділити на їх кількість. Для нашого прикладу ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) середнє значення становить 11 + 15 + 17 + 17 + 18 + 19 + 21 + 21 + 21 = 160/9 = 17,78. Ми поділили суму значень на 9, оскільки дане безліч складається з 9 чисел. Find the Mode of a Set of Numbers Step 5Bullet1

Find the Mode of a Set of Numbers Step 5Bullet1

медіана являє собою «середнє число», яке розділяє менші і більші значення безлічі на дві рівні половини. Наприклад, для нашого набору значень ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) медианой є число 18, так як зліва і праворуч від нього варто по чотири числа. Врахуйте, що якщо безліч містить парну кількість чисел, воно не має єдиної медіани. В цьому випадку медианой зазвичай вважають середнє значення тих двох чисел, які розташовані посередині. Find the Mode of a Set of Numbers Step 5Bullet2

Find the Mode of a Set of Numbers Step 5Bullet2

Метод 2 з 2:

Знаходження моди в спеціальних випадках

1. Безліч не має моди, якщо кожне значення зустрічається в ньому однакове число раз. Якщо всі значення в даному наборі чисел трапляються однакову кількість разів, то у цієї множини немає моди, оскільки жодне число не зустрічається частіше, ніж будь-яке інше. Наприклад, моди не мають ті безлічі, в які кожне число входить по одному разу. Це ж стосується тих множин, в яких кожне число зустрічається двічі, тричі і так далі.

Якщо ми змінимо набір чисел в нашому прикладі на {11, 15, 17, 18, 19, 21}, так щоб кожне значення зустрічалося лише один раз, то він НЕ матиме моди. Те ж вірно і для безлічі, в якому все числа зустрічаються двічі, наприклад {11, 11, 15, 15, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 21, 21}.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 7

2. Пам`ятайте, що моду нечислового набору даних можна визначити точно так же, як для числових множин. Як правило, більшість наборів даних є «кількісними», тобто містять дані у вигляді чисел. Проте зустрічаються і такі множини, члени яких виражені не у вигляді чисел. У таких випадках можна сказати, що «мода» - це те значення, яке зустрічається найчастіше в наборі даних (як і для числових множин). При цьому визначити моду буде можливо, в той час як медіану або середнє значення - не можна.

Припустимо, при огляді невеликої ділянки землі визначили вигляд кожного зростаючого на ньому дерева. Вийшов наступний список: {кедр, вільха, кедр, сосна, кедр, кедр, вільха, вільха, сосна, кедр}. Такий набір даних називають номінальним, оскільки входять до нього члени представляють собою назви. В цьому випадку модою є кедр, так як дане слово зустрічається частіше за інших (п`ять разів), в той час як вільха і сосна зустрічаються відповідно три і два рази.

У розглянутому вище прикладі неможливо знайти середнє значення і медіану, так як набір даних містить не числа, а назви.

Find the Mode of a Set of Numbers Step 8

3. При одномодальних симетричному розподілі мода, середнє значення і медіана збігаються. Як зазначалося вище, в деяких випадках мода, медіана і / або середнє значення можуть збігатися. Зокрема, якщо щільність розподілу того чи іншого набору даних утворює ідеально симетричну криву з однієї модою (наприклад, гауссіану або колоколообразную криву), мода, середнє значення і медіана рівні один одному. Щільність розподілу відображає відносну частоту певних значень, тому мода буде знаходитися точно посередині симетричною кривою розподілу, так як ця найвища точка на графіку відповідає найбільш поширеній значенням. Оскільки набір даних симетричний, ця точка на графіку буде відповідати також медіані (центральній точці в наборі даних) і середнім значенням.

Як приклад розглянемо набір чисел {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5}. Якщо ми відкладемо ці значення на графіку, то отримаємо симетричну криву, яка досягає максимальної висоти 3 при x = 3 і опускається до 1 при x = 1 і x = 5. Значення 3 зустрічається найчастіше, тому воно є модою. Так як 3 розташоване в центрі і по обидва боки від нього знаходиться чотири числа, воно є також медианой. І нарешті, середнє значення даного безлічі становить 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 27/9 = 3, тобто число 3 є також середнім значенням.

Виняток з цього правила становлять симетричні безлічі з більш ніж однієї модою - вони мають по одній медіані і середнього значення, з якими не збігаються кілька мод.