Як вирішувати многочлени

В математиці многочлен (або поліном) - це сума або різниця одночленним. Одночлени включають змінні і постійні, наприклад, одночленной є 4, -10x і 3x. Многочлен складається з будь-якого кінцевого числа одночленним, які не містять негативних показників ступеня (x), змінних в знаменнику (1 / х) і змінних під знаком квадратного кореня. Щоб вирішити многочлен, треба з`ясувати, при яких значеннях х многочлен дорівнює нулю.

кроки

Метод 1 з 5:

запис многочлена

1. Упорядкуйте члени многочлена в порядку убування показників ступеня. Перепишіть даний многочлен так, щоб член з найбільшим показником ступеня розташовувався першим, а член з найменшим показником ступеня - останнім. Наприклад, многочлен -1 + 3x - x перепишіть так: -x + 3x- 1.

Пам`ятайте, що негативний член завжди буде негативним, навіть якщо записати його першим членом. Подивіться на попередній приклад-член -x був негативним (бо вираховувався), тому він залишився негативним, коли ви записали його першим членом.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 2

2. Спростіть многочлен. Іноді кожен член многочлена містить множник, який можна винести за дужки і, таким чином, спростити многочлен. Наприклад, в многочлене 2x + 4x - 12 кожен член ділиться на 2, тобто 2 можна винести за дужки: 2 * (x + 2x - 6), при цьому значення вихідного многочлена не зміниться. Пам`ятайте, що цей метод можна застосовувати тільки тоді, коли у кожного члена є загальний множник.

Щоб перевірити обчислення, помножте кожен член на 2. Повинен вийти вихідний многочлен: 2x + 4x - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Цей метод можна застосовувати і до змінних, наприклад: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Завжди виносьте за дужки найбільший множник. У многочлене 10x + 20x за дужки можна винести не тільки 2, але і 10x.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 3

3. Визначте, чи можна вирішити многочлен. Пам`ятайте, що многочлен включає будь-яке кінцеве число одночленним, які не містять негативних показників ступеня (x), змінних в знаменнику (1 / х) і змінних під знаком квадратного кореня. Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то дане рівняння вирішується методами, які не розглядаються в цій статті.

Майте на увазі, що многочлени, показник ступеня яких дорівнює 4 (x) і вище, дуже складно вирішити, але для цього можна скористатися графічним калькулятором.

Якщо впорядкувати многочлен в порядку убування показників ступеня, він буде записаний в стандартній формі.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 4

4. Запам`ятайте головні математичні терміни. Досить складно вирішувати многочлени, якщо не знати термінологію. Запам`ятайте такі терміни:

Одночлен (або просто член) - це математичний вираз, що включає постійну, змінну або і постійну, і змінну. Наприклад, 5, x, 3t, 15y.

Многочлен (або поліном) - це сума або різниця одночленним.

Множник - це число, яке при множенні на інше число дає третє число. Наприклад, множителями 10 є числа 2, 5, 1, 10, так як кожне з цих чисел, будучи помножена на інше число, дасть 10. Множниками можуть бути і змінні, наприклад, множителями одночлена 10х є 2, 5, 1, 10 і х.

Ступінь - це найбільший показник ступеня змінної, яка входить в многочлен. Наприклад, многочлен x + 3x + 55 є многочленом п`ятого ступеня.

Трехчлен - це многочлен, який складається з трьох одночленним, наприклад, 2x + x + 12.

Двочлен (або біном) - це многочлен, який складається з двох одночленним, наприклад, х + 9. Майте на увазі, що деякі многочлени можна розкласти на множники двох і більше Двочленні.

Метод 2 з 5:

Розкладання на множники тричленів

1. Вирішіть многочлен, що він дав у вигляді тричлена. У цій статті розглядаються тільки квадратного тричлена (показник їх ступеня не перевищує 2, наприклад, x, 3x і так далі), тому що такі Трехчлен є найбільш поширеними і їх легко вирішити. Трехчлен потрібно розкласти на добуток двох биномом першого ступеня. Розглянемо приклад: x + 9x - 20.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 6

2. Пам`ятайте, що тричлен можна розкласти на множники у вигляді двох биномом. Щоб вирішити тричлен, потрібно спростити його, а для цього розкладіть тричлен на твір двох биномом, показник ступеня яких не перевищує 1 (наприклад, х, 5х і так далі). Запам`ятайте порядок перемноження двох Двочленні: перші члени, перший і другий члени, другий і перший члени, другі члени. Наприклад, перемножимо двочлен (x + 3) і (x + 2):

(X + 3) (x + 2)

перші члени. Першими членами є х.

x * x = з

Перший і другий члени. Першим членом є х, а другим 2.

x * 2 = 2х

Другий і перший члени. Другим членом є 3, а першим х.

3 * x = 3х

другі члени. Другими членами є 3 і 2.

3 * 2 = 6

Складіть результати, щоб отримати многочлен: x + 3x + 2x + 6.

Складіть (або відніміть) подібні члени, щоб спростити многочлен (подібні члени - це члени, що містять змінну з одним і тим же показником ступеня): x + 5x + 6

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 7

3. Розкладіть тричлен на множники. Більшість тричлен можна розкласти на два множники, кожен з яких є двочленна першого ступеня. Цей метод включає метод проб і помилок. Зверніть увагу на наступне:

Перший член трехчлена (x) є результатом перемноження перших членів кожного двочлена.

Другий член трехчлена (x) є сумою результатів перемноження першого і другого і другого і першого членів кожного двочлена.

Третій член трехчлена (6) є результатом перемноження друге членів кожного двочлена.

Якщо третій член трехчлена негативний, то другий член одного з Двочленні буде негативним.

Запишіть розкладання трехчлена на твір Двочленні у вигляді x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), тобто потрібно знайти одночлени і підставити їх замість пробілів.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 8

4. Знайдіть перші одночлени (для кожної пари дужок). Розглянемо приклад: x + x - 20. Щоб знайти перші одночлени, подивіться на перший член трехчлена і розкладіть його на пари найпростіших множників. У нашому прикладі такими множителями є х і х, так як х * х = x.

Знайдені одночлени підставте замість перших прогалин всередині кожної пари дужок: (x + / -__) (x +/- __)

Пам`ятайте, що квадрат - це будь-яка змінна або постійна, помножена сама на себе.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 9

5. Знайдіть два числа, твір яких одно третьому члену трехчлена. Для цього подивіться на третій член трехчлена і розкладіть його на всіх можливих пари множників. У нашому прикладі (третій член - це число -20) такими парами множників є такі числа:

-10 * 2 = -20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Вирішуючи складні многочлени, можна користуватися десятковими дробами (-3 * 6,6666), але такі многочлени дуже важко вирішити, так як практично неможливо застосувати метод проб і помилок. У таких випадках користуються графічним калькулятором.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 10

6. Серед знайдених (на попередньому кроці) пар множників виберіть таку пару чисел, при додаванні яких виходить другий член трехчлена. Постійна (константа) завжди знаходиться перед змінної. У нашому прикладі другий член трехчлена - це х. Так як константа не вказана, то вона дорівнює 1, тому що х * 1 = х. Таким чином, потрібно вибрати таку пару чисел, при додаванні яких виходить 1. У нашому прикладі такою парою є числа -4 і 5: -4 + 5 = 1. Отже, твір Двочленні буде виглядати так: (х - 4) (х + 5).

Позитивні числа ототожнюються зі складанням, а негативні - з вирахуванням.

Примітка: Враховуйте константу першого члена трехчлена. Наприклад, якщо в нашому прикладі першим членом трехчлена буде 3x, то такий тричлен НЕ розкладається на множники (3x - 4) (x + 5), так як в цьому випадку сума результатів творів першого і другого членів і другого і першого членів не дорівнює 1 : 15 + (-4) = 11. Тут потрібно вибрати іншу пару множників числа -20.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 11

7. Перемножте члени Двочленні, щоб перевірити отриманий результат. У нашому прикладі:

(Х - 4) (х + 5)

перші члени. x * x = x

Перший і другий члени. х * 5 = 5x

Другий і перший члени. -4 * х = -4х

другі члени. -4 * 5 = -20

Складіть результати, щоб отримати многочлен: x + 5x - 4х - 20

Складіть або відніміть подібні члени: x + x - 20

Так як отриманий тричлен збігається з вихідним, рішення правильне.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 12

8. Практикуйтеся в розкладанні тричленів на множники. Деякі Трехчлен складніше розкладати, ніж інші. Спробуйте розкласти на множники такі квадратного тричлена і порівняйте отримані відповіді з наведеними нижче.

Просте завдання: x + 4x + 3.

відповідь: (X + 1) (x + 3)

Звичайна завдання: x - 9 + 18.

відповідь: (X - 3) (x - 6)

Складна задача: 4x - 2x -6

відповідь: (2x - 3) (2x + 2)

Метод 3 з 5:

рішення многочленів

1. Щоб вирішити многочлен, треба прирівняти його до нуля. У завданнях потрібно «знайти значення змінної, при яких многочлен дорівнює 0», або «знайти коріння многочлена», або просто «вирішити многочлен». Перед тим як прирівняти многочлен до нуля, скористайтеся порадами, викладеними в першому розділі цієї статті. Розглянемо приклад: 3x (2x - 4) (х + 5) = 0.

Коріння многочлена розташовані там, де він дорівнює нулю, тобто це точки (на координатної площині), в яких графік поліномінальної функції перетинає вісь Х (горизонтальну вісь).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 14

2. Прирівняти кожен двочлен (якщо ви розклали многочлен на множники) до нуля. Так як многочлен розкладається на кілька множників, то основне завдання розбивається на кілька підзадач. Якщо 0 помножити на будь-який вираз або число, то вийде 0, тому можна розглядати кожен множник окремо. Таким чином, в нашому прикладі завдання розбивається на 3 підзадачі:

Рівняння A: 3x = 0

Рівняння B: 2x - 4 = 0

Рівняння З: x + 5 = 0

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 15

3. Вирішіть всі рівняння, тобто знайдіть «х». Кожне рішення буде коренем вихідного многочлена. Щоб знайти «х», обособьте цю змінну на одній стороні рівняння.

Рівняння A: позбудьтеся від 3 шляхом наступного розподілу: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Рівняння B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Рівняння C: x + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Ви знайшли коріння многочлена.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 16

4. Щоб перевірити відповідь, підставте знайдені значення в вихідний многочлен. Це швидкий і надійний спосіб перевірити будь-яке рішення. Замість «х» підставте знайдені значення - якщо рішення правильне, многочлен буде дорівнює 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

відповідь правильний. Перевірте залишилися значення «х».

Метод 4 з 5:

Рішення складних многочленів

1. Спростіть многочлен. Для цього розкладіть його на твір двочлена і трехчлена. Наприклад, твір (x-5) (x + x - 20) можна розбити на два рівняння і вирішувати їх окремо.

Якщо дано многочлен високого ступеня, наприклад, x, то його можна записати так: (x), що значно спростить його рішення.

Наприклад, x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 18

2. Вирішіть многочлен, що він дав у вигляді різниці двох кубів. Якщо куб числа або змінної віднімається з куба іншого числа або змінної, наприклад, x - 8, то таку різницю можна розкласти на твір двочлена і трехчлена за формулою скороченого множення: (Ab) (a + ab + b) = ab

У нашому прикладі a = х, b = 2 (так як 2 = 8). Тому x - 8 = (X - 2) (x + 2x + 8).

Щоб зрозуміти, як виводиться ця формула, відкрийте цю сторінку (на англійській мові).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 19

3. Навчіться вирішувати квадратне рівняння. Квадратне рівняння - це многочлен другого ступеня, прирівняний до нуля. Квадратне рівняння можна використовувати для вирішення складних многочленів без графічного калькулятора. За допомогою формули для вирішення квадратного рівняння можна швидко знайти коріння многочлена.

Метод 5 з 5:

Використання графічного калькулятора

1. Щоб вирішити складний многочлен, скористайтеся графічним калькулятором. Складні многочлени - це многочлени з великою кількістю членів, непарними показниками ступеня або прихованими множителями. Графічний калькулятор знаходить коріння в автоматичному режимі. Найпростіше скористатися функцією «Zeros» (Нулі).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 21

2. Введіть многочлен в графічний калькулятор. Як правило, це робиться на екрані Y = _____ або f (x) _____ (многочлен вводиться замість пробілів).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 22

3. Подивіться на графік. На екрані калькулятора відобразиться графік введеного многочлена.

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 23

4. Натисніть «Zeros» (Нулі). В найпопулярніших графічних калькуляторах, що випускаються компанією Texas Instrument, натисніть «2nd» - «CALC» - «Zeros». На інших графічних калькуляторах відповідна функція може називатися «roots» (коріння), «calculate roots» (обчислити корені), «calculate zeros» (обчислити нулі).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 24

5. Виберіть точки, що лежать ліворуч і праворуч від потрібного кореня. На графіку відобразиться миготлива точка. За допомогою кнопок зі стрілками миготливу точку зліва від точки перетину графіка з віссю абсцис. Відзначте обрану точку. Повторіть цей процес, щоб відзначити точку праворуч від потрібного кореня.

Калькулятор запропонує знайти ці точки.

Не вибирайте весь графік - збільште його і виберіть точки ліворуч і праворуч від передбачуваного кореня (тобто точки перетину графіка з віссю Х).

Зображення з назвою Solve Polynomials Step 25

6. Обов`язково зазначте точки, в яких графік просто стосується (але не перетинає) осі Х. Такі точки також є корінням рівняння.

Якщо ви знайшли коріння многочлена вручну, перевірте їх за допомогою графічного калькулятора. Для цього в калькуляторі знайдіть координати точок перетину графіка з віссю Х.

Поради

Не хвилюйтеся, якщо многочлен включає інші змінні, наприклад, t, або якщо він прирівняний до f (x), а не до 0. Якщо потрібно знайти коріння, нулі або множники, вирішуйте такий многочлен так само, як будь-який інший (тобто так, як описано в цій статті).
Запам`ятайте порядок виконання математичних операцій. Спочатку вирішите вираз в дужках, потім помножте або розділіть, а потім складіть або відніміть.