Як обчислити об`єм квадратної піраміди: 8 кроків

Квадратна піраміда - об`ємна фігура з основою у вигляді квадрата і трикутними бічними гранями. Вершина квадратної піраміди проектується в центр підстави. Якщо «а» - сторона квадратного підстави, «h» - висота піраміди (перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до центру її заснування), тоді обсяг квадратної піраміди можна обчислити за формулою: a × (1/3) h. Ця формула вірна для квадратної піраміди будь-яких розмірів (від сувенірних пірамід до єгипетських пірамід).

кроки

Метод 1 з 2:

Обчислення обсягу по площі і висоті

1. Знайдіть сторону основи. Так як в основі квадратної піраміди лежить квадрат, то всі сторони основи дорівнюють. Тому необхідно знайти довжину будь-якого боку підстави.

Наприклад, дана піраміда, сторона підстави якої дорівнює 5 см.
Якщо сторони підстави не рівні один одному, то вам дана прямокутна, а не квадратна піраміда. Проте, формула для обчислення обсягу прямокутної піраміди схожа на формулу для обчислення обсягу квадратної піраміди. Якщо «l» і «w» - дві суміжні (нерівні) сторони прямокутника в основі піраміди, то обсяг піраміди обчислюється за формулою: (l × w) × (1/3) h

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 2

2. Обчисліть площу квадратного підстави, помноживши його сторону саму на себе (або, іншими словами, звівши сторону в квадрат).

У нашому прикладі: 5 х 5 = 5 = 25 см.

Не забудьте, що площа вимірюється в квадратних одиницях - квадратних сантиметрах, квадратних метрах, квадратних кілометрах і так далі.

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 3

3. Помножте площу підстави на висоту піраміди. Висота - перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на її підставу. Перемноживши ці величини, ви отримаєте обсяг куба з тим же підставою і висотою, як у піраміди.

У нашому прикладі висота дорівнює 9 см: 25 см × 9 см = 225 см

Не забувайте, що обсяг вимірюється в кубічних одиницях, в даному випадку в кубічних сантиметрах.

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 4

4. Розділіть отриманий результат на 3 і ви знайдете обсяг квадратної піраміди.

У нашому прикладі: 225 см / 3 = 75 см.

Обсяг вимірюється в кубічних одиницях.

Метод 2 з 2:

Обчислення обсягу по апофеме

1. Якщо вам дана або площа, або висота піраміди і її апофема, ви можете знайти об`єм піраміди, використовуючи теорему Піфагора. Апофема - це висота похилої трикутної грані піраміди, проведена з вершини трикутника до його основи. Для обчислення апофеми використовуйте сторону основи піраміди і її висоту.

Апофема ділить сторону підстави навпіл і перетинає її під прямим кутом.

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 6

2. Розгляньте прямокутний трикутник, утворений апофемой, висотою і відрізком, що з`єднує центр підстави і середину його боку. В такому трикутнику апофема є гіпотенузою, яку можна знайти за теоремою Піфагора. Відрізок, що з`єднує центр підстави і середину його боку, дорівнює половині сторони підстави (цей відрізок є одним з катетов- другим катетом є висота піраміди).

Нагадаємо, що теорема Піфагора записується так: a + b = c, де «a» і «b» - катети, «c» - гіпотенуза прямокутного трикутника.

Наприклад, дана піраміда, у якій сторона основи дорівнює 4 см, а апофема - 6 см. Щоб знайти висоту піраміди, підставте ці значення в теорему Піфагора.

а + в = з

а + (4/2) = 6

а = 32

а = √32 = 5,66 см Ви знайшли другий катет прямокутного трикутника, який є висотою піраміди (аналогічно, якщо була б дана апофема і висота піраміди, ви б могли знайти половину боку підстави піраміди).

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 7

3. Використовуйте знайдене значення, щоб знайти об`єм піраміди за формулою: а × (1/3)х.

У нашому прикладі ви вирахували, що висота піраміди дорівнює 5,66 см. Підставте необхідні значення в формулу для обчислення об`єму піраміди:

а × (1/3)х

4 × (1/3) (5,66)

16 × 1,89 = 30,24 см.

Зображення з назвою Calculate the Volume of a Square Pyramid Step 8

4. Якщо вам не дана апофема, використовуйте ребро піраміди. Ребро - це відрізок, що з`єднує вершину піраміди з вершиною квадрата в основі піраміди. В цьому випадку ви отримаєте прямокутний трикутник, катетами якого є висота піраміди і половина діагоналі квадрата в основі піраміди, а гіпотенузою - ребро піраміди. Так як діагональ квадрата дорівнює √2 × сторону квадрата, то ви можете знайти сторону квадрата (підстави), розділивши діагональ на √2. Потім ви зможете знайти об`єм піраміди по вищеописаної формулою.

Наприклад, дана квадратна піраміда з висотою 5 см і ребром 11 см. Обчисліть половину діагоналі таким чином:

5 + в = 11

в = 96

в = 9,80 см.

Ви знайшли половину діагоналі, тому діагональ дорівнює: 9,80 см × 2 = 19,60 см.

Сторона квадрата (підстави) дорівнює √2 × діагональ, тому 19,60 / √2 = 13,90 см. Тепер знайдіть обсяг піраміди за формулою:а × (1/3)х

13,90 × (1/3) (5)

193,23 × 5/3 = 322,05 см

Поради

У квадратній піраміді її висота, апофема і сторона підстави пов`язані теоремою Піфагора: (сторона ÷ 2) + (висота) = (апофема)
У любойправільной піраміді апофема, сторона підстави і ребро пов`язані теоремою Піфагора: (сторона ÷ 2) + (апофема) = (ребро)