Як знаходити обсяг

Обсяг фігури являє собою займане цією фігурою тривимірний простір. Уявіть собі обсяг як кількість рідини (або повітря, або піску), яким можна заповнити цю форму. Обсяг вимірюється в кубічних одиницях (мм, см, м). Ця стаття розповість вам, як обчислювати обсяг шести тривимірних фігур. Ви можете помітити, що багато формули для обчислення обсягу схожі, що спрощує їх запам`ятовування.

кроки

Метод 1 з 6:

куб

1. Куб - це тривимірна фігура, яка має шість однакових квадратних граней, тобто всі її боку (ребра) рівні.

Наприклад, гральна кістка - це куб.

2. Формула знаходження обсягу куба: V = s, де V - об`єм, а s - довжина ребра.

Піднесення до куб аналогічно наступного множенню: s = s * s * s

3. Знайдіть довжину сторони (ребра) куба. Вона буде дана в завданні або вам потрібно виміряти її (лінійкою або рулеткою). Так як ребра куба рівні, вимірюйте будь ребро.

Якщо ви не впевнені, що ваша фігура є кубом, виміряйте кожну сторону, щоб переконатися, що вони рівні. Якщо вони не рівні, перейдіть до наступного розділу.

4. Підставте довжину ребра куба в формулу V = s. Наприклад, якщо ребро куба дорівнює 5 см, напишіть формулу таким чином: V = 5 = 5 * 5 * 5 = 125 см - це обсяг куба.

5. До відповіді обов`язково припишіть відповідні одиниці вимірювання. У наведеному прикладі ребро куба вимірювалася в сантиметрах, тому обсяг буде вимірюватися в кубічних сантиметрах. Якщо, наприклад, сторона куба дорівнює 3 см, то V = 3 = 27см.

Метод 2 з 6:

Прямокутна призма / прямокутний паралелепіпед

1. Прямокутний паралелепіпед або прямокутна призма - це тривимірна фігура з шістьма гранями, кожна з яких є прямокутником (згадайте коробку з-під взуття).

Куб - це окремий випадок прямокутного паралелепіпеда, у якого всі ребра рівні.

2. Формула знаходження обсягу прямокутного паралелепіпеда або прямокутної призми: V = l * w * h, де V = об`єм, l = довжина, w = ширина, h = висота.

3. Довжина прямокутного паралелепіпеда - це найдовше ребро верхньої або нижньої межі, тобто межі, на якій стоїть паралелепіпед (нижня межа) або паралельної їй межі (верхня межа). Довжина буде дана в завданні або вам потрібно виміряти її (лінійкою або рулеткою).

Приклад: довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 4 см, тобто l = 4 см.

Не турбуйтеся про те, які ребра вибрати в якості довжини, ширини і висоти. У будь-якому випадку в результаті ви отримаєте правильну відповідь (тільки виміряйте три ребра, перпендикулярні один одному).

4. Ширина прямокутного паралелепіпеда - це найкоротший ребро верхньої або нижньої межі, тобто межі, на якій стоїть паралелепіпед (нижня межа) або паралельної їй межі (верхня межа). Ширина буде дана в завданні або вам потрібно виміряти її (лінійкою або рулеткою).

Приклад: ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 3 см, тобто w = 3 см.

Якщо ви вимірюєте ребра паралелепіпеда лінійкою або рулеткою, не забудьте виміряти їх в однакових одиницях виміру. Чи не вимірюйте одне ребро в міліметрах, а інше в сантиметрах.

5. Висота прямокутного паралелепіпеда - це відстань між його нижньої і верхньої гранями. Висота буде дана в завданні або вам потрібно виміряти її (лінійкою або рулеткою).

Приклад: висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 6 см, тобто h = 6 см.

6. Підставте знайдені значення в формулу V = l * w * h.

У нашому прикладі l = 4, w = 3 і h = 6. Тому V = 4 * 3 * 6 = 72.

7. До відповіді обов`язково припишіть відповідні одиниці вимірювання. У наведеному прикладі ребра вимірювалися в сантиметрах, тому обсяг буде вимірюватися в кубічних сантиметрах: 72 см.

Якщо в прямокутної призмі l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2 * 4 * 8 = 64 см

Метод 3 з 6:

циліндр

1. Циліндр - це тривимірна фігура, обмежена циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають її.

Наприклад, банку або батарейка АА мають форму циліндра.

2. Формула знаходження об`єму циліндра: V = πrh, де V - об`єм, h - висота, r - радіус підстави і πr - площа основи циліндра.

У деяких завданнях відповідь у Вас можуть запитати з пи, а в деяких замість пі підставити 3,14.

Формула для знаходження об`єму циліндра насправді дуже схожа на формулу обчислення обсягу прямокутної призми, тобто ви перемножуєте висоту і площу основи. У прямокутної призмі площа основи дорівнює l * w, а в циліндрі вона дорівнює πr.

3. Знайдіть радіус підстави. Він, швидше за все, дана в завданні. Якщо дан діаметр, розділіть його на 2, щоб знайти радіус (d = 2r).

4. Якщо радіус не даний, виміряйте його. Для цього виміряйте основу циліндра за допомогою лінійки або рулетки. Виміряйте підставу в його найширшій частині (тобто виміряйте діаметр основи), а потім розділіть отримане значення на 2, щоб знайти радіус.

Інший варіант - виміряйте довжину окружності циліндра (тобто виміряйте обхват циліндра) за допомогою рулетки, а потім знайдіть радіус за формулою r = с / 2π, де с - обхват (довжина кола) циліндра (2π = 6,28).

Наприклад, якщо обхват циліндра дорівнює 8 см, то радіус буде дорівнює 1,27 см.

Якщо вам потрібно точне вимірювання, ви можете використовувати обидва методи, щоб переконатися, що значення радіуса збігаються (знаходження радіуса через довжину кола є більш точним методом).

5. Обчисліть площу круглої основи. Для цього підставте радіус в формулу πr.

Якщо радіус основи дорівнює 4 см, то площа підстави дорівнює π4.

4 = 4 * 4 = 16. 16 * π = 16 * 3,14 = 50,24 см

Якщо дан діаметр основи, то пам`ятайте, що d = 2r. Вам потрібно розділити діаметр навпіл, щоб знайти радіус.

6. Знайдіть висоту циліндра. Це відстань між двома круглими підставами. Висота буде дана в завданні або вам потрібно виміряти її (лінійкою або рулеткою).

7. Помножте площу підстави на висоту циліндра, щоб знайти його обсяг. Або ж просто підставте значення відповідних величин в формулу V = πrh. У нашому прикладі, коли радіус основи дорівнює 4 см, а висота дорівнює 10 см:

V = π410

π4 = 50,24

50,24 * 10 = 502,4

V = 502,4

8. До відповіді обов`язково припишіть відповідні одиниці вимірювання. У наведеному прикладі всі величини вимірювалася в сантиметрах, тому обсяг буде вимірюватися в кубічних сантиметрах: 502,4 см.

Метод 4 з 6:

правильна піраміда

1. Піраміда - це тривимірна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а межі є трикутниками, що мають загальну вершину.Правильна піраміда - це тривимірна фігура, в основі якої лежить правильний багатокутник (з рівними сторонами), а вершина проектується в центр підстави.

Зазвичай ми представляємо піраміду, що має квадратну підставу, але в основі піраміди може лежати багатокутник з 5, 6 або навіть з 100 сторонами!
Піраміда з круглим підставою називається конусом, який буде обговорюватися в наступному розділі.

2. Формула знаходження обсягу правильної піраміди: V = 1 / 3bh, де b - площа основи піраміди, h - висота піраміди (перпендикуляр, що з`єднує основу і вершину піраміди).

Ця формула для обчислення об`єму піраміди однаково придатна як для правильних пірамід (в яких вершина проектується в центр підстави), так і для похилих (в яких вершин не проектується в центр підстави).

3. Обчисліть площу підстави. Формула буде залежати від фігури, що лежить в основі піраміди. У нашому прикладі в основі піраміди лежить квадрат зі стороною 6 см. Площа квадрата дорівнює s, де s - сторона квадрата. Таким чином, в нашому прикладі площа основи піраміди дорівнює 6 = 36 см

Площа трикутника дорівнює 1 / 2bh, де h - висота трикутника, b - сторона, до якої проведена висота.

Площа будь-якого правильного багатокутника можна обчислити за формулою: А = 1 / 2ра, де А - площа, р - периметр фігури, а - апофема (відрізок, що з`єднує центр фігури з серединою будь-якого боку фігури). Для отримання додаткової інформації про знаходження площі багатокутників прочитайте цю статтю.

4. Знайдіть висоту піраміди. Висота буде дана в завданні. У нашому прикладі висота піраміди дорівнює 10 см.

5. Помножте площу основи піраміди на її висоту, а потім розділіть отриманий результат на 3, щоб знайти об`єм піраміди. Формула для обчислення об`єму піраміди: V = 1 / 3bh. У нашому прикладі площа підстави дорівнює 36, а висота дорівнює 10, тому обсяг: 36 * 10 * 1/3 = 120.

Якщо, наприклад, дана піраміда з п`ятикутною підставою площею 26, а висота піраміди дорівнює 8, то обсяг піраміди: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.

6. До відповіді обов`язково припишіть відповідні одиниці вимірювання. У наведеному прикладі всі величини вимірювалася в сантиметрах, тому обсяг буде вимірюватися в кубічних сантиметрах: 120 см.

Метод 5 з 6:

конус

1. Конус - це тривимірна фігура, яка має круглу підставу і одну вершину. Або конус - це особливий випадок піраміди з круглим підставою.

Якщо вершина конуса знаходиться безпосередньо над центром круглого підстави, то конус називається прямим- в іншому випадку конус називається похилим. Але формула для обчислення обсягу конуса однакова для обох типів конуса.

2. Формула для обчислення обсягу конуса: V = 1 / 3πrh, де r - радіус круглого підстави, h - висота конуса.

b = πr - це площа круглого підстави конуса. Таким чином, формулу для обчислення обсягу конуса можна записати так: V = 1 / 3bh, що збігається з формулою знаходження об`єму піраміди!

3. Обчисліть площу круглої основи. Радіус повинен бути дан в завданні. Якщо дан діаметр основи, то пам`ятайте, що d = 2r. Вам потрібно розділити діаметр навпіл, щоб знайти радіус. Для обчислення площі круглого підстави підставте радіус в формулу πr.

Наприклад, радіус круглого підстави конуса дорівнює 3 см. Тоді площа цього підстави дорівнює π3.

π3 = π (3 * 3) = 9π.

= 28,27 см

4. Знайдіть висоту конуса. Це перпендикуляр, опущений з вершини до основи піраміди. У нашому прикладі висота конуса дорівнює 5 см.

5. Перемножте висоту конуса і площа підстави. У нашому прикладі площа підстави дорівнює 28,27 см, а висота дорівнює 5 см, тому bh = 28,27 * 5 = 141,35.

6. Тепер помножте отриманий результат на 1/3 (або просто розділіть його на 3), щоб знайти об`єм конуса. В описаному вище кроці ви знайшли обсяг циліндра, а обсяг конуса завжди в 3 рази менше обсягу циліндра.

У нашому прикладі: 141,35 * 1/3 = 47,12 - це обсяг конуса.

Або: 1 / 3π35 = 47,12

7. До відповіді обов`язково припишіть відповідні одиниці вимірювання. У наведеному прикладі всі величини вимірювалася в сантиметрах, тому обсяг буде вимірюватися в кубічних сантиметрах: 47,12 см.

Метод 6 з 6:

куля

1. Куля - це ідеально кругла тривимірна фігура, кожна точка поверхні якої рівновіддалена від однієї точки (центру кулі).

2. Формула для обчислення обсягу кулі: V = 4 / 3πr, де r - радіус кулі.

3. Знайдіть радіус кулі. Радіус повинен бути дан в завданні. Якщо дан діаметр кулі, то пам`ятайте, що d = 2r. Вам потрібно розділити діаметр навпіл, щоб знайти радіус. Наприклад, радіус кулі дорівнює 3 см.

4. Якщо радіус не даний, обчисліть його. Для цього виміряйте довжину окружності кулі (наприклад, тенісного м`яча) в його найширшій частині за допомогою мотузки, нитки або іншого подібного предмета. Потім виміряйте довжину мотузки, щоб знайти довжину кола. Розділіть отримане значення на 2π (або на 6,28), щоб обчислити радіус кулі.

Наприклад, якщо ви виміряли м`яч і знайшли, що довжина його окружності дорівнює 18 см, розділіть це число на 6,28 і отримаєте, що радіус м`яча дорівнює 2,87 см.

Виконайте 3 вимірювання окружності кулі, а потім усереднити отримані значення (для цього складіть їх і суму розділіть на 3), щоб переконатися, що ви отримали значення, близьке до істинного.

Наприклад, в результаті трьох вимірів довжини окружності ви отримали наступні результати: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Складіть ці значення: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а потім розділіть їх на 3: 53,95 / 3 = 17,98. Використовуйте це середнє значення в розрахунках обсягу кулі.

5. Зведіть радіус в куб (r). Тобто r = r * r * r. У нашому прикладі r = 3, тому r = 3 * 3 * 3 = 27.

6. Тепер помножте отриманий результат на 4/3. Ви можете використовувати калькулятор або виконати множення вручну, а потім спростити дріб. У нашому прикладі: 27 * 4/3 = 108/3 = 36.

7. Помножте отриманий результат на π (3,14), щоб знайти об`єм кулі.

У нашому прикладі: 36 * 3,14 = 113,09.