Як вирішити раціональне рівняння: 8 кроків

Якщо вам дано вираз з дробами зі змінною в чисельнику або в знаменнику, то такий вислів називається раціональним рівнянням. Раціональне рівняння - будь-яке рівняння, яке включає в себе не менше одного раціонального виразу. Вирішуються раціональні рівняння так само, як будь-які рівняння: виконуються ті ж операції з обох сторін рівняння, поки змінна не відокремлюється на одній стороні рівняння. Проте є два методи вирішення раціональних рівнянь.

кроки

Метод 1 з 2:

Множення хрест-навхрест

1. При необхідності перепишіть дане вам рівняння так, щоб з кожного боку об`єкта перебувала одна дріб (одне раціональне вираз) - тільки в цьому випадку ви зможете скористатися методом множення хрест-навхрест.

Наприклад, дано рівняння (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0. Перенесіть дріб x / (- 2) на праву сторону рівняння, щоб записати рівняння в належному вигляді: (x + 3) / 4 = x / (- 2).

Майте на увазі, що десяткові і цілі числа можуть бути представлені у вигляді дробів, якщо поставити в знаменнику 1. Наприклад, (х + 3) / 4 - 2,5 = 5 можна переписати у вигляді (х + 3) / 4 = 7,5 / 1 це рівняння можна вирішити за допомогою множення хрест-навхрест.

Якщо ви не можете переписати рівняння в потрібному вигляді, дивіться наступний розділ.

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 2

2. Множення хрест-навхрест. Помножте чисельник лівої дробу на знаменник правої. Повторіть це з чисельником правої дробу і знаменником лівої.

Множення хрест-навхрест засноване на основних алгебраїчних принципах. У раціональних виразах і інших дробах можна позбутися від чисельника, відповідно перемноживши числители і знаменники двох дробів.

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 3

3. Прирівняти отримані вирази і спростите їх.

Наприклад, дано раціональне рівняння: (х +3) / 4 = х / (- 2). Після перемноження хрест-навхрест воно записується у вигляді: -2 (х +3) = 4x або 2х 2 6 = 4х

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 4

4. Вирішіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Якщо «х» знаходиться по обидва боки рівняння, обособьте його на одній стороні рівняння.

У нашому прикладі ви можете розділити обидві сторони рівняння на (-2) і отримаєте: х + 3 = -2x . Перенесіть члени зі змінною «х» на одну сторону рівняння і отримаєте: 3 = 3х. Потім розділіть обидві частини на -3, щоб отримати результат: х = -1.

Метод 2 з 2:

Найменший спільний знаменник (НСЗ)

1. Найменший спільний знаменник використовується для спрощення даного рівняння. Цей метод можна застосовувати в тому випадку, коли не можна записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення хрест-навхрест). Цей метод використовується, коли дано раціональне рівняння з трьома або більше дробом (в разі двох дробів краще застосувати множення хрест-навхрест).

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 6

2. Знайдіть найменший спільний знаменник дробів (або найменше спільне кратне). НСЗ - це найменше число, яке ділиться без остачі на кожен знаменник.

Іноді НСЗ - очевидне число. Наприклад, якщо дано рівняння: х / 3 + 1/2 = (3x +1) / 6, то очевидно, що найменшим спільним кратним для чисел 3, 2 і 6 буде 6.

Якщо НСЗ не очевидний, випишіть кратні найбільшого знаменника і знайдіть серед них такий, який буде кратним і для інших знаменників. Найчастіше НСЗ можна знайти, просто перемноживши два знаменника. Наприклад, якщо дано рівняння x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, то НСЗ = 8 * 9 = 72.

Якщо один або кілька знаменників містять змінну, то процес дещо ускладнюється (але не стає неможливим). В цьому випадку НСЗ є виразом (містить змінну), яке ділиться на кожен знаменник. Наприклад, в рівнянні 5 / (х-1) = 1 / х + 2 / (3x) НСЗ = 3x (х-1), тому що цей вислів ділиться на кожен знаменник: 3x (х-1) / (х-1 ) = 3x- 3x (х-1) / 3х = (х-1) - 3x (х-1) / х = 3 (х-1).

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 7

3. Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату ділення НСЗ на відповідний знаменник кожного дробу. Так як ви примножуєте і чисельник, і знаменник на одне і те ж число, то фактично ви примножуєте дріб на 1 (наприклад, 2/2 = 1 або 3/3 = 1).

Таким чином, в нашому прикладі помножте х / 3 на 2/2, щоб отримати 2x / 6, і 1/2 помножте на 3/3, щоб отримати 3/6 (дріб 3x +1/6 множити не треба, так як її знаменник дорівнює 6).

Дійте аналогічно в разі, коли змінна знаходиться в знаменнику. У нашому другому прикладі НСЗ = 3x (x-1), тому 5 / (x-1) помножте на (3x) / (3x) і отримаєте 5 (3x) / (3x) (x-1) - 1 / x помножте на 3 (x-1) / 3 (x-1) і отримаєте 3 (x-1) / 3x (x-1) - 2 / (3x) помножте на (x-1) / (x-1) і отримаєте 2 (x-1) / 3x (x-1).

Зображення з назвою Solve Rational Equations Step 8

4. Знайдіть «х». Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбутися від знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім вирішите отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього обособьте змінну на одній зі сторін рівняння.

У нашому прикладі: 2x / 6 + 3/6 = (3x +1) / 6. Ви можете скласти дві дроби з однаковими знаменником, тому запишіть рівняння як: (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6. Помножте обидві частини рівняння на 6 і позбудьтеся від знаменників: 2x + 3 = 3x +1. Вирішіть і отримаєте х = 2.

У нашому другому прикладі (зі змінною в знаменнику) рівняння має вигляд (після приведення до спільного знаменника): 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Помноживши обидві сторони рівняння на НСЗ, ви позбудетеся від знаменника і отримаєте: 5 (3x) = 3 (х-1) + 2 (х-1), або 15x = 3x - 3 + 2x -2, або 15х = х - 5. Вирішіть і отримаєте: х = -5/14.

Поради

Знайшовши «х», перевірте свою відповідь, підставивши значення «х» в вихідне рівняння. Якщо відповідь правильна, ви зможете спростити вихідне рівняння до простого висловом, наприклад, 1 = 1.
Зверніть увагу, що ви можете записати будь-який многочлен як раціональне вираз, просто розділивши його на 1. Так х +3 і (х +3) / 1 мають однакове значення, але останній вираз вважається раціональним виразом, тому що записано у вигляді дробу.