Як ділити логарифми: 11 кроків (з ілюстраціями)

Дії з логарифмами можуть здатися досить складними, але, як і зі статечними функціями або многочленами, необхідно просто знати основні правила. Їх зовсім небагато: щоб поділити логарифми з однаковим підставою або розкласти логарифм приватного, досить використовувати пару основних властивостей логарифмів.

кроки

Метод 1 з 2:

Як ділити логарифми вручну

1. Перевірте, чи не стоять під знаком логарифма негативні числа або одиниця. Даний метод можна застосовувати до виразів виду

\log в (з) \log в (а)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}}$ . Однак він не годиться для деяких особливих випадків:

Логарифм негативного числа не визначений при будь-якій підставі (наприклад, $\log (- 3)$ або $\log 4 (- 5)$ $Log _ {{4}} (- 5)$ ). В цьому випадку напишіть "немає рішення".
Логарифм нуля по будь-якої підстави також не визначений. Якщо вам попався $лн (0)$ , запишіть "немає рішення".
Логарифм одиниці по будь-якої підстави ( $\log (1)$ ) Завжди дорівнює нулю, оскільки $з 0 = 1$ $x ^ {{0}} = 1$ для всіх значень з. Запишіть замість такого логарифма 1 і не використовуйте наведений нижче метод.
Якщо логарифми мають різні підстави, наприклад $л про ж з (x) л про г 4 (а)$ ${ Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , і не зводяться до цілих чисел, значення виразу не можна знайти вручну.

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 2

2. Перетворіть вираз в один логарифм. Якщо вираз не належить до наведених вище особливих випадках, його можна представити у вигляді одного логарифма. Використовуйте для цього наступну формулу:

\log в (з) \log в (а) = \log_{а} (з)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}} = log _ {{a}} (x)$ .

Приклад 1: розглянемо вираз

\log 16 \log 2

.
Для початку представимо вираз у вигляді одного логарифма за допомогою наведеної вище формули:

\log 16 \log 2 = \log_{2} (16)

${ Frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {{2}} (16)$ .

ця формула "заміни підстави" логарифма виводиться з основних властивостей логарифмів.

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 3

3. При можливості обчисліть значення виразу вручну. Щоб знайти

\log а (з)

$Log _ {{a}} (x)$ , уявіть собі вираз "

а ? = з

$a ^ {{?}} = x$ ", тобто поставте наступним питанням: "В який ступінь необхідно звести а, Щоб отримати з?". Для відповіді на це питання може знадобитися калькулятор, але якщо вам пощастить, ви зможете знайти його вручну.

Приклад 1 (продовження): Перепишіть

\log 2 (16)

$Log _ {{2}} (16)$ у вигляді

2 ? = 16

$2 ^ {{?}} = 16$ . Необхідно визначити, яке число має стояти замість знака "?". Це можна зробити шляхом проб і помилок:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = 8

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = 8 * 2 = 16

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Отже, шуканим числом є 4:

\log 2 (16)

$Log _ {{2}} (16)$ = 4.

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 4

4. Залиште відповідь в логарифмічній формі, якщо вам не вдається спростити його. Багато логарифми дуже складно обчислити вручну. У цьому випадку, щоб отримати точну відповідь, вам буде потрібно калькулятор. Однак якщо ви вирішуєте завдання на уроці, то вчителі, швидше за все, задовольнить відповідь в логарифмічному вигляді. Нижче розглянутий метод використаний для вирішення більш складного прикладу:

приклад 2: чому дорівнює

\log 3 (58) \log 3 (7)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}}$ ?

Перетворимо дане вираження в один логарифм:

\log 3 (58) \log 3 (7) = \log_{7} (58)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Зверніть увагу, що загальна для обох логарифмів підставу ₃ ісчезает- це справедливо для будь-якого підстави.

Перепишемо вираз у вигляді

7 ? = 58

$7 ^ {{?}} = 58$ і спробуємо знайти значення ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Оскільки 58 знаходиться між цими двома числами,

\log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ не виражає цілим числом.

Ми залишаємо відповідь в логарифмічному вигляді:

\log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ .

Метод 2 з 2:

Як знаходити логарифми приватного

1. Розглянемо випадок, коли під знаком логарифма стоїть приватна (дріб). Даний розділ присвячений виразами виду

\log а (\frac{з}{і})

$Log _ {{a}} ({ frac {x} {y}})$ .

Припустимо, необхідно вирішити наступне завдання:
"Знайдіть n, при якому $\log 3 (27 6 н) = - 6 - \log_{3} (6)$ $Log _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log _ {{3}} (6)$ ".

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 6

2. Перевірте, чи немає під знаком логарифма негативних чисел. Логарифм негативного числа не визначений. Якщо x або y негативні, переконайтеся в тому, що завдання має рішення, перш ніж приступати до його пошуку:

якщо x або y менше нуля, завдання не має рішення.

якщо обидва числа x і y негативні, скоротіть знак мінус:

- з - і = \frac{з}{і}

${ Frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}$ .

У наведеному вище прикладі під знаком логарифма немає негативних чисел, тому можна перейти до наступного кроку.

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 7

3. Розкладіть логарифм приватного на два логарифма. Ще одна корисна властивість логарифмів описується наступною формулою:

\log а (\frac{з}{і}) = \log_{а} (x) - \log_{а} (і)

$Log _ {{a}} ({ frac {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{a}} (y)$ . Іншими словами, логарифм приватного завжди дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.

Використовуємо цю формулу, щоб розкласти ліву частину рівності:

\log 3 (27 6 н) = \log_{3} (27) - \log_{3} (6 н)

$Log _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n)$

Підставами отриманий вираз в наше рівність:

\log 3 (27 6 н) = - 6 - \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log _ {{3}} (6)$
→

\log 3 (27) - \log_{3} (6 н) = - 6 - \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n) = - 6 log _ {{3}} (6)$

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 8

4. По можливості спростите вираз. Якщо отримані логарифми представляються цілими числами, можна спростити вираз.

У нашому прикладі з`явився новий член:

\log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ . Оскільки 3 = 27, замість

\log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ можна підставити 3.

В результаті отримуємо такий вираз:

3 - \log 3 (6 н) = - 6 - \log_{3} (6)

$3 log _ {{3}} (6n) = - 6 log _ {{3}} (6)$

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 9

5. Відділимо невідому величину. Як і при вирішенні інших алгебраїчних рівнянь, рекомендується перенести шукану величину в одну сторону, а всі інші члени - в іншу сторону рівняння. При цьому об`єднуйте подібні члени, щоб спростити рівняння.

3 - \log 3 (6 н) = - 6 - \log_{3} (6)

$3 log _ {{3}} (6n) = - 6 log _ {{3}} (6)$

я - \log 3 (6 н) = - \log_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6n) = - log _ {{3}} (6)$

\log 3 (6 н) = я + \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 10

6. При необхідності використовуйте інші властивості логарифмів. У нашому випадку невідома величина стоїть під знаком логарифма. Щоб відокремити її від інших членів, слід використовувати інші властивості логарифмів.

У нашому прикладі н входить до складу доданка

\log 3 (6 н)

$Log _ {{3}} (6n)$ .
щоб відокремити н, використовуємо наступне властивість логарифмів:

\log а (в з) = \log_{а} (в) + \log а (з)

$Log _ {{a}} (bc) = log _ {{a}} (b) + log {a} (c)$

\log 3 (6 н) = \log_{3} (6) + \log_{3} (н)

$Log _ {{3}} (6n) = log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n)$

Підставами цю суму логарифмів в наше вираз:

\log 3 (6 н) = я + \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

\log 3 (6) + \log_{3} (н) = я + \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Зображення з назвою Divide Logarithms Step 11

7. Продовжуйте спрощувати вираз, поки не отримаєте відповідь. Використовуйте для цього правила алгебри і властивості логарифмів. Якщо відповідь не виражається цілим числом, використовуйте калькулятор і округлятимете результат до найближчої значущою цифри.

\log 3 (6) + \log_{3} (н) = я + \log_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

\log 3 (н) = я

$Log _ {{3}} (n) = 9$
Так як 3 = 19683, n = 19683 .