Як унормувати вектор

Вектор є геометричним об`єктом, він характеризується напрямком і величиною. Його можна представити у вигляді відрізка з початковою точкою на одному кінці і стрілкою на другому, при цьому довжина відрізка відповідає величині вектора, а стрілка вказує на його напрям. Нормування вектора є стандартною операцією в математики, на практиці вона використовується в комп`ютерній графіці.

кроки

Метод 1 з 5:

Термінологія

1. Визначимо одиничний вектор. Одиничним вектором вектора A називається такий вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора A, а довжина дорівнює 1. Можна строго довести, що кожен вектор має один і тільки один відповідний йому одиничний вектор.

Зображення з назвою Normalize a Vector Step 2

2. Дізнайтеся, що таке нормування вектора. Це процедура знаходження одиничного вектора для заданого вектора A.

Зображення з назвою Normalize a Vector Step 3

3. Визначимо пов`язаний вектор. У декартовій системі координат пов`язаний вектор виходить з початку координат, тобто для 2-мірного випадку з точки (0,0). Це дозволяє задавати вектор лише координатами його кінцевої точки.

Зображення з назвою Normalize a Vector Step 4

4. Освойте запис векторів. Якщо обмежитися пов`язаними векторами, то в запису A = (x, y) пара координат (x, y) вказує на кінцеву точку вектора A.

Метод 2 з 5:

Вивчіть умову задачі

1. Встановіть, що відомо. З визначення одиничного вектора ми знаємо, що початкова точка і напрямок цього вектора збігаються з аналогічними характеристиками вектора A. Крім того, довжина одиничного вектора дорівнює 1.

Зображення з назвою Normalize a Vector Step 6

2. Визначте, що необхідно знайти. Потрібно знайти координати кінцевої точки одиничного вектора.

Метод 3 з 5:

Як знайти одиничний вектор

Знайдіть кінцеву точку одиничного вектора для вектора A = (x, y). Одиничний вектор і вектор А утворюють подібні прямокутні трикутники, тому кінцева точка одиничного вектора матиме координати (x / c, y / c), де необхідно знайти c. Крім того, довжина одиничного вектора дорівнює 1. Таким чином, згідно з теоремі Піфагора маємо: [x ^ 2 / c ^ 2 + y ^ 2 / c ^ 2] ^ (1/2) = 1 -> [(X ^ 2 + y ^ 2) / c ^ 2] ^ (1/2) -> (X ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) / c = 1 -> c = (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2). Тобто одиничний вектор вектора A = (x, y) задається виразом u = (x / (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2), y / (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2)).

Метод 4 з 5:

Як унормувати вектор в 2-вимірному просторі

Припустимо, що вектор A починається на початку координат, а його кінцева точка розташована в (2,3), тобто A = (2,3). Знайдемо одиничний вектор: u = (x / (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2), y / (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)) = (2 / (2 ^ 2 + 3 ^ 2) ^ (1/2), 3 / (2 ^ 2 + 3 ^ 2) ^ (1/2)) = (2 / (13 ^ (1/2)), 3 / (13 ^ (1/2))). Таким чином, нормування вектора A = (2,3) призводить до вектору u = (2 / (13 ^ (1/2)), 3 / (13 ^ (1/2))).

Метод 5 з 5:

Як унормувати вектор в n-вимірному просторі

Узагальнимо формулу для нормування вектора на випадок простору з довільним числом вимірів. Щоб унормувати вектор A (a, b, c, ...), необхідно знайти вектор u = (a / z, b / z, c / z, ...), де z = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ...) ^ (1/2).