Як застосовувати теорему пифагора: 12 кроків

Теорема Піфагора пов`язує три сторони прямокутного трикутника однією формулою, якою користуються до цих пір. Теорема говорить, що в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи: a + b = c, де a і b - катети трикутника (сторони, що перетинаються під прямим кутом), с - гіпотенуза трикутника. Теорема Піфагора може бути застосована в багатьох випадках, наприклад, за допомогою цієї теореми легко знайти відстань між двома точками на координатній площині.

кроки

Метод 1 з 2:

Знаходження сторін прямокутного трикутника

1. Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора може бути застосована тільки до прямокутним трикутниках. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 2

2. Позначте боку трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, лежащаянапротів прямого кута).

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 3

3. Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти. Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) необхідно знайти.

Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. В цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.

Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам дано значення одного з непрямих кутів).

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 4

4. Підставте у формулу a + b = c дані вам значення (або знайдені вами значення). Пам`ятайте, що a і b - це катети, а с - гіпотенуза.

У нашому прикладі напишіть: 3² + b² = 5².

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 5

5. Зведіть в квадрат кожну відому сторону. Або ж залиште ступеня - ви можете звести числа в квадрат пізніше.

У нашому прикладі напишіть: 9 + b² = 25.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 6

6. Обособьте невідому сторону на одному боці рівняння. Для цього перенесіть відомі значення на іншу сторону рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузи, то в теоремі Піфагора вона вже відособлена на одній стороні рівняння (тому робити нічого не потрібно).

У нашому прикладі перенесіть 9 на праву сторону рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b² = 16.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 7

7. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння. На даному етапі на одній стороні рівняння присутній невідоме (в квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число).

У нашому прикладі b² = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння і отримаєте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 8

8. Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати у великому числі практичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники в повсякденному житті - в будь-якій ситуації, в якій два предмета (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з`єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

Приклад: дана сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться в 5 метрах від підстави стіни. Верхня частина сходів знаходиться в 20 метрах від землі (вгору по стіні). Яка довжина драбини?

«В 5 метрах від підстави стіни» означає, що а = 5 «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катета прямокутного трикутника, так як стіна будівлі і поверхня Землі перетинаються під прямим кутом ). Довжина сходів є довжина гіпотенузи, яка невідома.

a² + b² = c²

(5) ² + (20) ² = c²

25 + 400 = c²

425 = c²

з = √425

з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 20,6 метрів.

Метод 2 з 2:

Обчислення відстані між двома точками на координатній площині

1. Виберіть дві точки на координатній площині. По теоремі Піфагора можна обчислити довжину відрізка, що з`єднує дві точки на координатній прямій. Для цього необхідно знати координати (х, у) кожної точки.

Щоб знайти відстань між двома точками, ви будете розглядати точки в якості вершин трикутника, що не прилеглих до прямого кута прямокутного трикутника. Таким чином, ви зможете легко знайти катети трикутника, а потім обчислити гіпотенузу, яка дорівнює відстані між двома точками.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 10

2. Нанесіть точки на координатну площину. Відкладіть координати (х, у), де координата «х» відкладається по горизонтальній осі, а «у» - по вертикальній. Ви можете знайти відстань між точками без побудови графіка, але графік дозволяє візуально уявити процес ваших обчислень.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 11

3. Знайдіть катети трикутника. Ви можете зробити це, вимірявши довжину катетів безпосередньо на графіку або за допомогою формул: | x₁ - з₂| для обчислення довжини горизонтального катета, і | y₁ - і₂| для обчислення довжини вертикального катета, де (x₁,і₁) - координати першої точки, а (x₂,і₂) - координати другої точки.

Приклад: дані точки: А (6,1) і В (3,5). Довжина горизонтального катета:

| x₁ - з₂|

| 3 - 6 |

| -3 | = 3

Довжини вертикального катета:

| і₁ - і₂|

| 1 - 5 |

| -4 | = 4

Таким чином, в прямокутному трикутнику а = 3 і b = 4.

Зображення з назвою Use the Pythagorean Theorem Step 12

4. Використовуйте теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи. Відстань між двома точками дорівнює гіпотенузі трикутника, дві сторони якого ви тільки що знайшли. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти гіпотенузу, підставивши в формулу знайдені значення катетів (a і b).

У нашому прикладі а = 3 і b = 4. Гіпотенуза обчислюється таким чином:

(3) ² + (4) ² = c²

c = √ (9 + 16)

c = √ (25)

c = 5. Відстань між точками А (6,1) і В (3,5) дорівнює 5.

Поради

Гіпотенуза завжди:

лежить навпроти прямого кута;
є найдовшою стороною прямокутного трикутника;
позначається як «с» в теоремі Піфагора;

√ (х) означає «квадратний корінь з х».

Не забувайте перевіряти відповідь. Якщо відповідь здається неправильним, виконайте обчислення знову.

Ще один момент - найдовша сторона лежить навпроти найбільшого кута, а найкоротша сторона - навпаки найменшого кута.

Вивчіть числа Піфагора трійки, що утворюють сторони прямокутного трикутника. Найпримітивніша Числа Піфагора - це 3, 4, 5. Так, знаючи довжину двох сторін, третю шукати не доведеться.

Пам`ятайте, гіпотенуза - завжди найдовша сторона.

Якщо дан звичайний трикутник (а не прямокутний), то потрібно більше інформації, ніж просто довжини двох сторін.

Графіки є наочним способом нанесення позначень а, b і з. Якщо ви вирішуєте задачу, то в першу чергу побудуйте графік.

Якщо дана довжина тільки однієї сторони, то теорему Піфагора застосовувати не можна. Спробуйте використовувати тригонометрію (sin, cos, tan).

Якщо мова йде про завдання з деякого сюжету, можна сміливо припустити, що дерева, стовпи, стіни і так далі утворюють прямий кут з землею, якщо не вказано інше.