Як ділити многочлени: 10 кроків (з ілюстраціями)

Багаточлени можна розділити так само, як числа: або розкладанням на множники, або розподілом в стовпчик. Використовуваний метод залежить від виду многочлена і виду подільника.

кроки

Частина 1 з 3:

визначення методу

1. Визначте вид подільника. Дільник (многочлен, на який ви ділите) порівнюється з діленим (многочленом, який ви ділите) і визначається відповідний метод поділу.

Якщо дільник одночлен, що представляє собою коефіцієнт при змінної або вільний член (коефіцієнт без змінної), ймовірно, ви зможете розкласти ділене на множники і скоротити один з множників і дільник. Дивіться розділ «Розкладання діленого на множники».
Якщо дільник двочлен (многочлен з двома членами), ймовірно, ви зможете розкласти ділене на множники і скоротити один з множників і дільник.
Якщо дільник тричлен (многочлен з трьома членами), ймовірно, ви зможете розкласти на множники як ділене, так і дільник, а потім скоротити загальний множник або поділити в стовпчик.
Якщо дільник многочлен з більш ніж трьома членами, швидше за все, доведеться використовувати ділення в стовпчик. Дивіться розділ «Розподіл в стовпчик».

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 2

2. Визначте вид діленого. Якщо вид подільника НЕ підказує вам метод поділу, визначте вид діленого.

Якщо ділене містить три або менше члена, ймовірно, ви зможете розкласти ділене на множники і скоротити один з множників і дільник.

Якщо ділене містить більше трьох членів, швидше за все, доведеться використовувати ділення в стовпчик.

Частина 2 з 3:

Розкладання діленого на множники

1. Визначте загальний множник у подільника і діленого. Якщо він існує, ви можете винести його за дужки і скоротити.

приклад. При розподілі 3x - 9 на 3 в Двочленні винесіть 3 за дужки: 3 (х - 3). Потім скоротіть винесену за дужки 3 і дільник (3). Відповідь: х - 3.
Приклад: При розподілі 24x - 18x на 6x в Двочленні винесіть 6х за скоби: 6x (4x - 3). Потім скоротіть винесені за дужки 6х і дільник (6х). Відповідь: 4x - 3.

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 4

2. Визначте, чи може ділене бути розкладено на множники за формулами скороченого множення. Якщо один з множників дорівнює дільнику, то ви можете їх скоротити. Ось деякі формули скороченого множення:

різниця квадратів. Це двочлен виду ax - b, де значення a і b є повними квадратами (тобто з цих чисел можна витягти квадратний корінь). Цей двочлен можна розкласти на два множники: (ax + b) (ax - b).

повний квадрат. Це тричлен виду ax + 2abx + b, який можна розкласти на два множники: (ax + b) (ax + b) або записати як (ax + b). Якщо перед другим членом варто мінус, цей тричлен розкладається як: (ax - b) (ax - b).

Сума або різниця кубів. Це двочлен виду ax + b або ax - b, де значення AИ bявляются повними кубами (тобто з цих чисел можна витягти кубічний корінь). Сума кубів розкладається на: (ax + b) (ax - abx + b). Різниця кубів розкладається на: (ax - b) (ax + abx + b).

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 5

3. Використовуйте метод проб і помилок для розкладання діленого на множники. Якщо ви бачите, що до делимому не можна застосувати формулу скороченого множення, спробуйте розкласти ділене іншими способами. Для початку знайдіть множники вільного члена, врахувавши коефіцієнта другого члена діленого.

приклад. Якщо ділене має вигляд x - 3x - 10, знайдіть множники вільного члена 10, врахувавши коефіцієнт 3.

Число 10 може бути розбите на наступні множники: 1 і 10 або 2 і 5. Так як перед 10 коштує мінус, перед одним з множників числа 10 теж повинен стояти мінус.

Коефіцієнт 3 дорівнює 5-2, тому вибираємо множники 5 і 2. Так як перед 3 варто мінус, перед 5 повинен теж стояти мінус. Таким чином, ділене розкладається на множники: (х - 5) (х + 2). Якщо дільник дорівнює одному з цих двох множників, то їх можна скоротити.

Частина 3 з 3:

Розподіл в стовпчик

1. Запишіть ділене і дільник так, як ви записуєте звичайні числа при їх розподілі в стовпчик.

приклад. Розділимо x + 11 x + 10 на x +1.

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 7

2. Розділіть перший член діленого на перший член дільника. Запишіть результат.

приклад. Розділіть x (перший член діленого) на х (перший член дільника). Запишіть результат: х.

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 8

3. Помножте результат з попереднього кроку (х) на дільник. Запишіть результат множення відповідно під першим і другим членами діленого.

приклад. Помножте х на х + 1 і отримаєте x + x. Запишіть цей двочлен відповідно під першим і другим членами діленого.

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 9

4. Відніміть результат (з попереднього кроку) з діленого. В першу чергу з діленого відніміть результат множення (отриманий в попередньому кроці), а потім знесіть вільний член.

Поміняйте знаки у двочлена x + x і запишіть його як - x - x. Віднімаючи цей двочлен з перших двох членів ділимо, отримаєте 10x. Після знесення вільного члена діленого ви отримаєте двочлен 10х + 10 (проміжний двочлен).

Зображення з назвою Divide Polynomials Step 10

5. Повторіть попередні три кроки з проміжним Двочленні (отриманим в попередньому кроці). Ви розділіть його перший член на перший член дільника і запишіть результат поруч з результатом першого поділу. Потім помножте цей результат другого поділу на дільник і відніміть результат множення з проміжного двочлена.

Так як 10х / г = 10, запишіть «+10» після результату першого розподілах (х).

Помноживши 10 на х +1, отримаєте двочлен 10х + 10. Поміняйте знаки цього двочлена (- 10x - 10) і відповідно запишіть його під проміжним Двочленні.

Відніміть двочлен, отриманий в попередньому кроці, з проміжного двочлена і отримаєте 0. Таким чином, x + 11 x + 10 ділити на x +1 одно x + 10 (можливо, ви отримаєте той же результат, розклавши тричлен на множники, але цей тричлен був обраний в якості найпростішого прикладу).

Поради

Якщо при розподілі в стовпчик у вас вийшов залишок, ви можете записати його у вигляді дрібного члена, у якого в чисельнику знаходиться залишок, а в знаменнику - дільник. Наприклад, якщо замість x + 11 x + 10 вам дано x + 11 x + 12, то при розподілі цього тричлена на х + 1 ви отримаєте залишок 2. Тому запишіть відповідь (приватне) у вигляді: х + 10 + (2 / (х +1)).
Якщо в даному многочлене немає члена зі змінною відповідного порядку, наприклад, в 3x + 9x + 18 немає члена зі змінною першого порядку, ви можете додати відсутній член з коефіцієнтом 0 (в нашому прикладі це 0x), щоб правильно розташувати члени під час ділення. Цей хід не змінить значення даного многочлена.

попередження

При розподілі в стовпчик правильно записуйте члени (члени одного порядку записуйте один під одним), щоб уникнути помилок при відніманні членів.
При написанні результату ділення, який включає дробовий член, перед дробовим членом завжди ставте знак плюс.