Як доповнити до повного квадрата (з ілюстраціями)

Доповнення до повного квадрата - корисний метод, який дозволяє записати квадратне рівняння в формі, легкої для подання та рішення. Ви можете доповнити до повного квадрата складне квадратне рівняння і навіть вирішити його. Якщо ви хочете навчитися робити це, виконайте наступні дії.

кроки

Метод 1 з 2:

Перетворення стандартного рівняння до вершинної формі

1. Запишіть рівняння. Наприклад, 3x - 4x + 5.

Зображення з назвою Complete the Square Step 2

2. Винесіть за дужки коефіцієнт при перших двох членах. Щоб винести за дужки 3 з перших двох членів, розділіть кожен з них на 3. 3x ділити на 3 = x і 4x ділити на 3 = 4 / 3x. Отже, нове рівняння записується як: 3 (x - 4 / 3x) + 5. Вільний член 5 залишається за дужками, так як його ми не ділимо на3.

Зображення з назвою Complete the Square Step 3

3. Ділимо на 2 другий член і зводимо його в квадрат. Другим членом, званим b, є 4/3 . Ділимо його на 2: 4/3 ÷ 2, або 4/3 х 1/2, так само 2/3 . Тепер будуємо це значення в квадрат шляхом зведення в квадрат чисельника і знаменника дробу. (2/3) = 4/9.

Зображення з назвою Complete the Square Step 4

4. Додайте і відніміть отриману величину к / з рівняння. Нам потрібен цей "зайвий" член, щоб доповнити рівняння до квадрата. Запам`ятайте, що ви одночасно додаєте і віднімаєте новий член, тому вихідне рівняння не змінюється. Нове рівняння має виглядати наступним чином: 3 (x - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.

Зображення з назвою Complete the Square Step 5

5. Винесіть за дужки новий член зі знаком мінус. Оскільки перед дужкою стоїть множітель3, ви не можете просто винести -4/9. Спочатку помножте його на 3: -4/9 х 3 = -12/9, або -4/3. Якщо ви працюєте з рівнянням, де коефіцієнт при x відсутній (тобто дорівнює 1), то можете пропустити цей крок.

6. Перетворіть складові в дужках в повний квадрат. У дужках залишилося вираз: 3 (x -4 / 3x +4/9). Ви знайшли 4/9, яке доповнює два перших доданків до повного квадрата: 3 (x - 2/3). Ви можете перевірити рішення, звівши вираз в дужках в квадрат:

3 (x - 2/3) = Зображення з назвою Complete the Square Step 6Bullet1

3 (x - 2/3) (x -2/3) =

3 [(x -2 / 3x -2 / 3x + 4/9)]

3 (x - 4 / 3x + 4/9)

7. Складіть вільні члени. У нас залишилося два вільних члена: 3 (x - 2/3) - 4/3 + 5. Складіть їх разом: -4/3 + 5 = 11/3. Це можна зробити, привівши їх до спільного знаменника.

-4/3 + 15/3 = 11/3. Зображення з назвою Complete the Square Step 7Bullet1

Зображення з назвою Complete the Square Step 8

8. Запишіть рівняння в вершинної формі. Остаточний вигляд рівняння: 3 (x - 2/3) + 11/3, що відповідає вершинної формі a (x - h) + k, де k - вільний член.

Метод 2 з 2:

Рішення квадратного рівняння

1. Запишіть рівняння. наприклад: 3x + 4x + 5 = 6

Зображення з назвою Complete the Square Step 10

2. Перенесіть всі члени рівняння на одну сторону і прирівняти його до 0. У нашому прикладі складіть вільні члени (члени рівняння без змінної): 5 + (- 6) = - 1. Тепер рівняння записується як: 3x + 4x - 1 = 0.

Зображення з назвою Complete the Square Step 11

3. Винесіть за дужки коефіцієнт при змінної вищого порядку. У нашому випадку 3 є коефіцієнтом x. Тепер рівняння записується у вигляді: 3 (x + 4 / 3x - 1/3) = 0.

Зображення з назвою Complete the Square Step 12

4. Позбавтеся від множника перед дужкою. Просто перенесіть його в праву частину рівняння (розділіть 0 на 3 = 0). Тепер наше рівняння: x + 4 / 3x - 1/3 = 0

Зображення з назвою Complete the Square Step 13

5. Ділимо на 2 другий член і зводимо його в квадрат. Другим членом, званим b, є 4/3 . Ділимо його на 2: 4/3 ÷ 2, або 4/3 х 1/2 = 4/6 = 2/3. Квадрат 2/3 = 4/9. Так як ви додаєте новий член, потрібно додати його до обох сторін рівняння, щоб воно не змінилося: x + 4/3 x + 2/3 - 1/3 = 2/3

Зображення з назвою Complete the Square Step 14

6. Перемістіть вільний член (з вихідного рівняння) з лівого боку рівняння в праву. Складіть два вільних члена на правій стороні рівняння, привівши їх до спільного знаменника: 1/3 + 4/9 = 3/9 + 4/9 = 7/9. Тепер наше рівняння: x + 4/3 x + 2/3 = 4/9 + 1/3 і потім: x + 4/3 x + 2/3 = 7/9.

Зображення з назвою Complete the Square Step 15

7. Запишіть ліву частину рівняння у вигляді квадрата:(X + 2/3). Тепер рівняння запишеться у вигляді: (x + 2/3) = 7/9.

Зображення з назвою Complete the Square Step 16

8. Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння. Квадратний корінь з (x + 2/3) = x + 2/3. На правій стороні отримаємо +/- (√ 7) / 3. Квадратний корінь з знаменника 9 = 3, а квадратний корінь з 7 = √7. Не забудьте написати +/-, тому що квадратний корінь може бути позитивним або негативним.

Зображення з назвою Complete the Square Step 17

9. виділіть змінну. Для виділення змінної х перенесіть вільний член 2/3 в праву частину рівняння. Тепер у вас є два можливих значення х: +/- (√ 7) / 3 - 2/3. Це ваші дві відповіді. Ви можете залишити все як є або знайти фактичний квадратний корінь з 7, якщо потрібно дати відповідь без кореня.

Поради

Не забудьте записати +/- перед корнем- в іншому випадку ви отримаєте тільки одна відповідь.
Навіть після ви знаєте формулу вирішення квадратного рівняння, періодично практикуйтеся в доповненні до повного квадрата. Таким чином, ви не забудете, як це зробити, коли вам це знадобиться.