Як працювати з еквівалентними дробом

Дві дробу еквівалентні, якщо вони мають однакове значення. Дробу 1/2 і 2/4 еквівалентні, оскільки значення 1 ділити на 2 дорівнює значенню 2 ділити на 4 або 0,5 у вигляді десяткового дробу. Перетворення дробів в еквівалентні дробу корисно при проведенні звичайних і складних обчислень. Ця стаття розповість вам, як отримувати еквівалентні дробу через розподіл і множення, а також про те, як вирішувати рівняння з еквівалентними дробом.

кроки

Метод 1 з 5:

Отримання еквівалентних дробів

1. Помножте чисельник і знаменник на одне і те ж число. У двох еквівалентних дробів чисельники діляться один на одного без остачі, і знаменники діляться один на одного без остачі (при цьому ви повинні отримати одне число). Іншими словами, помноживши чисельник і знаменник якої-небудь дробу на одне і те ж число, ви отримаєте еквівалентну дріб (значення вихідної і отриманої дробів будуть однаковими).

Наприклад, дана дріб 4/8. Помножте чисельник і знаменник на 2 і отримаєте: (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Ці дві дробу еквівалентні.
(4 × 2) / (8 × 2) = 4/8 × 2/2. Пам`ятайте, що при множенні двох дробів потрібно перемножити їх чисельники, а потім перемножити їх знаменники.
Зверніть увагу, що 2/2 = 1. Таким чином, 4/8 і 8/16 - це еквівалентні дробу, так як множачи 4/8 на 1 (2/2 = 1), значення дробу не змінюється. Тому 4/8 = 8/16.
Будь-яка дріб має нескінченне число еквівалентних дробів. Ви можете помножити чисельник і знаменник на будь-яке ціле число, щоб отримати еквівалентну дріб.

2. Розділіть чисельник і знаменник на одне і те ж число. Аналогічно множенню, операція ділення також може бути використана для того, щоб отримати нову дріб, яка буде еквівалентна вихідної дробу. Для цього розділіть чисельник і знаменник на одне і те ж число (чисельник і знаменник повинні ділитися на це число без залишку, і в чисельнику і знаменнику повинні бути цілі числа).

Наприклад, дана дріб 4/8. Якщо замість множення ви розділите чисельник і знаменник на 2, то отримаєте: (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 і 4 - цілі числа, тому дріб 2/4 еквівалентна дробу 4/8.

Метод 2 з 5:

Використання операції множення для визначення еквівалентності

1. Якщо вам дана задача на визначення еквівалентності двох дробів, то знайдіть число, на яке потрібно помножити менший знаменник, щоб отримати більший знаменник. Так ви приведете дроби до спільного знаменника.

Наприклад, дані дроби 4/8 і 8/16. Менший знаменник 8 ви примножуєте на 2 і отримуєте більший знаменник 16. Таким чином, шукане число в даному прикладі - це число 2.
Для полегшення знаходження потрібного числа просто розділіть більший знаменник на менший знаменник. В цьому випадку 16/8 = 2.
Число не обов`язково буде цілим. Наприклад, якщо знаменники рівні 2 і 7, то число дорівнює 3,5.

2. Помножте чисельник і знаменник меншою дробу (з меншим знаменником) на знайдене число. Якщо в результаті ви отримаєте велику дріб (з великим знаменником), то дані дроби еквівалентні.

У нашому прикладі помножте меншу дробь4 / 8 на знайдене число 2: (4 х 2) / (8 х 2) = 8/16. Ви отримали велику дріб, тому дані дроби 4/8 і 8/16 є еквівалентними.

Метод 3 з 5:

Використання операції ділення для визначення еквівалентності

1. Висловіть кожну дріб у вигляді десяткового дробу, щоб визначити їх еквівалентність. Для цього просто розділіть чисельник дробу на її знаменник.

Наприклад, дані дроби 4/8 і 8/16. 4/8 = 0,5 8/16 = 0,5. Так як дві десяткові дроби рівні, то вихідні дробу еквівалентні.
Пам`ятайте, що в десяткового дробу після десяткової коми може стояти нескінченної число цифр. Це треба враховувати при визначенні еквівалентності. Наприклад, 1/3 = 0,333, а 3/10 = 0,3. Таким чином, дроби 1/3 і 3/10 не є еквівалентними.

2. Розділіть чисельник і знаменник дробу на одне і те ж число, щоб отримати еквівалентну дріб. При цьому і в чисельнику, і в знаменнику повинні перебувати цілі числа.

Наприклад, дана дріб 4/8. Якщо замість множення ви розділите чисельник і знаменник на 2, то отримаєте (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 і 4 є цілими числами, тому дріб 2/4 еквівалентна дробу 4/8.

3. Спростіть дріб, розділивши чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник (НСД). Це найбільша кількість, на яке можна розділити і чисельник і знаменник. Цей крок повинен привести дві дробу до найменшого спільного знаменника (тільки якщо дроби еквівалентні).

При спрощення дробу ви отримаєте дріб з найменшими можливими чисельником і знаменником. Чисельник і знаменник не можуть бути розділені на будь-яке ціле число-їх необхідно ділити на їх НСД. Do Equivalent Fractions Step 2

У нашому прикладі (дріб 4/8) НОД = 4, так як 4 - це найбільше число, яке ділить 4 і 8 без залишку. Щоб спростити дріб, розділіть чисельник і знаменник на 4: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Аналогічно, у разі дробу 8/16 НОД = 8 і: (8 ÷ 8) / (16 ÷ 8) = 1/2.

Метод 4 з 5:

Використання множення хрест-навхрест для знаходження змінної

1. Множення хрест-навхрест використовується в задачах з двома еквівалентними дробом, одне з чисел в яких замінено на змінну (зазвичай «х») - цю змінну необхідно знайти. Так як дробу еквівалентні, то їх можна прирівняти (поставити між ними знак рівності) і знайти змінну за допомогою множення хрест-навхрест.

2. При множенні хрест-навхрест потрібно помножити чисельник першого дробу на знаменник другого дробу, а потім помножити чисельник другого дробу на знаменник першої дробі- між результатами перемноження поставте знак рівності.

Наприклад, дано дві дробу 4/8 і 8/16. Вони не містять змінну, але використовуємо множення хрест-навхрест, щоб перевірити їх еквівалентність: 4 х 16 = 8 х 8 або 64 = 64. Таким чином, ці дроби еквівалентні (якщо рівність не зберігається, то дробу не є еквівалентними).

3. Введіть змінну в одну з еквівалентних дробів, щоб за допомогою множення хрест-навхрест знайти її.

Наприклад, розглянемо рівняння 2 / х = 10/13. Помножте 2 на 13 і 10 на «х», а потім прирівняти результати один одному:

2 × 13 = 26

10 × x = 10x

10x = 26. Розділіть обидві частини рівняння на 10 і отримаєте х = 26/10 = 2,6.

4. Множення хрест-навхрест працює з будь-якими дробом, включаючи дроби зі складними виразами. Наприклад, якщо обидві дробу містять змінні, в процесі обчислень їх необхідно сократіть- якщо ж чисельник або знаменник даних дробів містять вирази (наприклад, х + 1), то при множенні хрест-навхрест необхідно розкрити дужки (перемноживши число за дужками і кожен член виразу в дужках) і вирішити отримане рівняння стандартним способом.

Наприклад, розглянемо рівняння ((х + 3) / 2) = ((х + 1) / 4).

(X + 3) × 4 = 4x + 12

(X + 1) × 2 = 2x + 2

2x + 2 = 4x + 12. Перенесіть 2х на праву сторону рівняння.

2 = 2x + 12. Тепер перенесіть 12 на ліву сторону рівняння.

-10 = 2x. Розділіть на 2 обидві сторони рівняння.

-5 = х

Метод 5 з 5:

Використання формули для знаходження коренів квадратного рівняння

1. Цей метод також починається з множення хрест-навхрест, яке може привести до того, що ви отримаєте змінну в другому ступені (в квадраті). У таких випадках, можливо, буде потрібно використовувати такі методи, як розкладання квадратного рівняння на множники або рішення квадратного рівняння за допомогою формули.

Наприклад, розглянемо рівняння ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Помножте хрест-навхрест:

(X + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
4 × 3 = 12
2x - 2 = 12.

2. Виразіть отримане рівняння у вигляді квадратного рівняння (ax + bx + c = 0), прирівнявши рівняння до нуля. У нашому прикладі перенесіть 12 на ліву сторону рівняння і отримаєте 2x - 14 = 0.

Деякі члени можуть дорівнювати 0. Хоча 2x - 14 = 0 є найпростішою формою квадратного рівняння, його можна записати у вигляді 2x + 0х + (-14) = 0. Це, ймовірно, допоможе на ранній стадії, щоб записати рівняння в стандартній формі квадратного рівняння, навіть якщо деякі члени 0.

3. Розв`яжіть рівняння, підставивши числа з квадратного рівняння в формулу для обчислення коренів квадратного рівняння. Формула: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) допоможе знайти значення «х». У цю формулу підставте відповідні числа з рівняння, отриманого в кроці 2.

x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. У нашому прикладі 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0, c = -14.

x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)

x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)

x = (+/- √ (112)) / 2 (2)

x = (+/- 10,58 / 4)

x = +/ - 2,64

4. Перевірте відповідь, підставивши знайдені значення «х» у вихідне квадратне рівняння. У нашому прикладі підставте 2,64 і -2,64 у вихідне квадратне рівняння.

Поради

Перетворення дробів в еквівалентні дробу насправді є їх множенням на 1. При перетворенні 1/2 в 2/4, множення чисельника і знаменника на 2 насправді є множення 1/2 на 2/2, де 2/2 = 1.
Якщо необхідно перевірити еквівалентність змішаних чисел (наприклад, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 і так далі), то спочатку їх необхідно перетворити в неправильні дроби. Якщо вам потрібно знайти еквівалентну дріб змішаного числа, то це можете зробити двома способами: перетворіть змішане число в неправильну дріб і скористайтеся методами, описаними в даній статье- або застосуєте методи, описані в даній статті, безпосередньо до змішаного числа.

Для перетворення змішаного числа в неправильний дріб помножте цілу частину змішаного числа на знаменник дробової частини, а потім складіть отриманий результат з чисельником дробової частини. Знаменник залиште без змін. Наприклад, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Потім знайдіть еквівалентну дріб: 5/3 × 2/2 = 10/6 отримана дріб еквівалентна змішаного числа 1 2/3.
Якщо ви не хочете конвертувати змішане число в неправильну дріб, просто ігноруйте цілу частину змішаного числа і працюйте з його дробової частиною. Наприклад, в змішаному числі 3 4/16 працюйте тільки з 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Потім до отриманого результату припишіть цілу частину вихідного змішаного числа і отримаєте еквівалентну дріб: 3 1/4.

попередження

Незважаючи на те, що при перемножуванні дробів і числители, і знаменники відповідно перемножуються, при додаванні і відніманні дробів знаменник залишається колишнім.

Наприклад, 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 . Але 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 або 3/2, тобто при додаванні ви отримаєте зовсім інший результат.

Для отримання еквівалентних дробів ви примножуєте або ділите чисельник і знаменник на одне і те ж число-це вірно, так як в цьому випадку ви примножуєте або ділите всю дріб на 1 (2/2, 3/3 і так далі), що не змінює значення вихідної дробу. Цього не можна досягти при додаванні або відніманні дробів.