Як спрощувати раціональні вирази

Спрощення раціональних виразів -досить простий процес, якщо воно є одночленной, але доведеться докласти більше зусиль, якщо раціональне вираз - многочлен. Ця стаття розповість, як спростити раціональне вираз в залежності від його типу.

кроки

Метод 1 з 3:

Раціональне вираження - одночлен

1. вивчіть завдання.Раціональні вирази - одночлени найлегше спростити: все що вам потрібно зробити - це зменшити чисельник і знаменник до непріводімие величин.

Приклад: 4x / 8x ^ 2

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 2

2. Скоротіть однакові змінні. Есліпеременная знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику, ви можете скоротити цю змінну відповідним чином.

Якщо змінна знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику в однаковій мірі, то така змінна скорочується повністю: х / х = 1

Якщо змінна знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику в різних ступенях, то така змінна скорочується відповідним чином (менший показник вираховується з більшого): х ^ 4 / х ^ 2 = х ^ 2/1

Приклад: х / х ^ 2 = 1 / х

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 3

3. Скоротіть коефіцієнти до непріводімие величин. Якщо чисельні коефіцієнти мають спільний дільник, розділіть на нього такі коефіцієнти і в чисельнику, і в знаменнику: 8/12 = 2/3.

Якщо коефіцієнти раціонального вираження не мають спільних дільників, то вони не скорочуються: 7/5.

Приклад: 4/8 = 1/2.

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 4

4. Запишіть остаточну відповідь. Для цього об`єднайте скорочені змінні і скорочені коефіцієнти.

Приклад: 4x / 8x ^ 2 = 1 / 2x

Метод 2 з 3:

Дробове раціональне вираз (чисельник - одночлен, знаменник - многочлен)

1. вивчіть завдання. Якщо одна частина раціонального виразу є одночленной, а інша - многочленом, можливо, буде потрібно спростити вираз через деякий дільник, який може бути застосований і до чисельника, і до знаменника.

Приклад: (3x) / (3x + 6x ^ 2)

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 6

2. Скоротіть однакові змінні. Для цього винесіть змінну за дужки.

Це спрацює, тільки якщо змінну містить кожен член многочлена: х / х ^ 3-х ^ 2 + х = х / (х (х ^ 2-х + 1))

Якщо який-небудь член многочлена не містить змінну, то ви не зможете винести її за дужки: х / х ^ 2 + 1

Приклад: х / (х + х ^ 2) = х / (х (1 + х))

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 7

3. Скоротіть коефіцієнти до непріводімие величин. Якщо чисельні коефіцієнти мають спільний дільник, розділіть на нього такі коефіцієнти і в чисельнику, і в знаменнику.

Зверніть увагу, що це спрацює тільки в тому випадку, якщо всі коефіцієнти у виразі мають один дільник: 9 / (6 - 12) = (3 * 3) / (3 / (2 - 4))

Це не спрацює, якщо будь-який з коефіцієнтів у виразі не має подібного дільника: 5 / (7 + 3)

Приклад: 3 / (3 + 6) = (3 * 1) / (3 (1 + 2))

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 8

4. Об`єднайте змінні і коефіцієнти. Об`єднайте змінні і коефіцієнти з урахуванням членів, винесених за дужки.

Приклад: (3x) / (3x + 6x ^ 2) = (3x * 1) / (3x (1 +2 х))

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 9

5. Запишіть остаточну відповідь. Для цього скоротіть подібні члени.

Приклад: (3x * 1) / (3x (1 +2 х)) = 1 / (1 + 2х)

Метод 3 з 3:

Дробове раціональне вираз (чисельник і знаменник - многочлени)

1. вивчіть завдання. Якщо і в чисельнику, і в знаменнику раціонального вираження знаходяться многочлени, то вам потрібно розкласти їх на множники.

Приклад: (х ^ 2 - 4) / (х ^ 2-2x-8)

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 11

2. Розкладіть чисельник на множники. Для цього обчисліть змінну х.

Приклад: (х ^ 2 - 4) = (х - 2) (х + 2)

для обчислення х вам потрібно відокремити змінну на одній стороні рівняння: х ^ 2 = 4.

Вийміть квадратний корінь з вільного члена і з змінної: √х ^ 2 = √4

Пам`ятайте, що квадратний корінь з будь-якого числа може бути позитивним і негативним. Таким чином, можливими значеннями х є:-2 і +2.

Отже, розкладання (Х ^ 2-4) на множники записується у вигляді: (Х-2) (х + 2)

Перевірте правильність розкладання на множники, перемноживши члени в дужках.

Приклад: (х - 2) (х + 2) = х ^ 2 + 2x-2x-4 = х ^ 2-4

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 12

3. Розкладіть знаменник на множники. Для цього обчисліть змінну х.

Приклад: (х ^ 2-2x-8) = (х + 2) (х-4)

для обчислення х перенесіть всі члени, що містять змінну, на одну сторону рівняння, а вільні члени - на іншу: х ^ 2-2x = 8.

Зведіть в квадрат половину коефіцієнта при х в першого ступеня і додайте отримане значення до обох сторін рівняння:х ^ 2-2x+1 = 8+1.

Спростіть ліву частину рівняння, записавши її у вигляді повного квадрата: (х-1) ^ 2 = 9.

Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння: х-1 = ± √9

Обчисліть х: Х = 1 ± √9

Як в будь-якому квадратному рівнянні, х має два можливих значення.

x = 1-3 = -2

x = 1 + 3 = 4

Таким чином, многочлен (Х ^ 2-2x-8) розкладається на множники (Х + 2) (х-4).

Перевірте правильність розкладання на множники, перемноживши члени в дужках.

Приклад: (х + 2) (х-4) = х ^ 2-4x + 2x-8 = х ^ 2-2x-8

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 13

4. Визначте подібні вирази в чисельнику і в знаменнику.

Приклад: ((х-2) (х + 2)) / ((х + 2) (х-4)). В даному випадку подібним виразом є (х + 2).

Зображення з назвою Simplify Rational Expressions Step 14

5. Запишіть остаточну відповідь. Для цього скоротіть подібні вирази.

Приклад: (х ^ 2 - 4) / (х ^ 2-2x-8) = ((х-2) (х + 2)) / ((х + 2) (х-4)) = (х-2 ) / (х-4)

Що вам знадобиться

калькулятор
олівець
папір