Як знайти похибка

При вимірі чого-небудь можна припустити, що є деякий «справжнє значення», яке лежить в межах діапазону значень, які ви знайшли. Для розрахунку більш точної величини потрібно взяти результат вимірювання і оцінити його при додаванні або відніманні похибки. Якщо ви хочете навчитися знаходити таку погрішність, виконайте наступні дії.

кроки

Метод 1 з 3:

основи

1. Висловлюйте похибка правильно. Припустимо, при вимірюванні палиці її довжина дорівнює 4,2 см плюс-мінус один міліметр. Це означає, що палиця приблизно дорівнює 4,2 см, але насправді може бути трохи менше або більше цього значення - з похибкою до одного міліметра.

Запишіть похибка як: 4,2 см ± 0,1 см. Ви також можете переписати це як 4,2 см ± 1 мм, так як 0,1 см = 1 мм.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 2

2. Завжди округляйте значення вимірювань до того ж знака після коми, що і в похибки. Результати вимірювань, які враховують похибка, як правило, округлюються до однієї або двох значущих цифр. Найбільш важливим моментом є те, що потрібно округлити результати до того ж знака після коми, що і в похибки, щоб зберегти відповідність.

Якщо результат вимірювання 60 см, то і похибка слід округляти до цілого числа. Наприклад, похибка цього виміру може бути 60 см ± 2 см, але не 60 см ± 2,2 см.

Якщо результат вимірювання 3,4 см, то похибка округлюється до 0,1 см. Наприклад, похибка цього виміру може бути 3,4 см ± 0,7 см, але не 3,4 см ± 1 см.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 3

3. Знайдіть похибка. Припустимо, ви вимірюєте лінійкою діаметр круглого кулі. Це складно, так як через кривизни кулі буде важко поміряти відстань між двома протилежними точками на його поверхні. Скажімо, лінійка може дати результат з точністю до 0,1 см, але це не означає, що ви можете виміряти діаметр з тією ж точністю.

Вивчіть куля і лінійку, щоб отримати уявлення про те, з якою точністю ви можете виміряти діаметр. У стандартній лінійки чітко видна розмітка по 0,5 см, але, можливо, ви зможете виміряти діаметр з більшою точністю, ніж ця. Якщо ви думаєте, що зможете виміряти діаметр з точністю до 0,3 см, то похибка в цьому випадку дорівнює 0,3 см.

Виміряємо діаметр кулі. Припустимо, ви отримали результат близько 7,6 см. Просто вкажіть результат вимірювання разом із похибкою. Діаметр кулі складає 7,6 см ± 0,3 см.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 4

4. Розрахуйте похибка вимірювання одного предмета з кількох. Скажімо, вам дано 10 компакт-дисків (CD), при цьому розміри кожного однакові. Припустимо, ви хочете знайти товщину всього одного CD. Ця величина настільки мала, що похибка практично неможливо обчислити. Проте, щоб обчислити товщину (і її похибка) одного CD, ви можете просто разделітьрезультат вимірювання (і його похибка) товщини всіх 10 CD, складених разом (один на іншого), на загальну кількість CD.

Припустимо, що точність вимірювання стопки CD за допомогою лінійки 0,2 см. Отже, ваша похибка ± 0,2 см.

Припустимо, товщина всіх CD дорівнює 22 см.

Тепер розділимо результат вимірювання і похибка на 10 (число всіх CD). 22 см / 10 = 2,2 см і 0,2 см / 10 = 0,02 см. Це означає, що товщина одного компакт-диска 2,20 см ± 0,02 см.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 5

5. Виміряйте кілька разів. Для підвищення точності вимірювань, будь то вимірювання довжини або часу, заміряйте шукану величину кілька разів. Обчислення середнього значення з отриманих значень збільшить точність вимірювання і розрахунку похибки.

Метод 2 з 3:

Обчислення похибки множинних вимірів

1. Проведіть кілька вимірів. Припустимо, ви хочете знайти, скільки часу падає м`яч з висоти столу. Щоб отримати найкращі результати, виміряйте час падіння наскільки раз, наприклад, п`ять. Потім потрібно знайти середнє значення з п`яти отриманих значень вимірів часу, а потім для найкращого результату додати або відняти середньоквадратичне відхилення.

Припустимо, в результаті п`яти вимірювань отримані результати: 0,43 с, 0,52 с, 0,35 с, 0,29 с і 0,49 з .

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 7

2. Знайдіть середнє арифметичне. Тепер знайдіть середнє арифметичне шляхом підсумовування п`яти різних результатів вимірювань і розділивши результат на 5 (кількість вимірювань). 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08 з. 2,08 / 5 = 0,42 з. Середній час 0,42 с.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 8

Знайдіть дисперсію отриманих значень. Для цього, по-перше, знайдіть різницю між кожною з п`яти величин і середнім арифметичним. Щоб зробити це, відніміть з кожного результату 0,42 з.

0,43 с - 0,42 с = 0,01 с

0,52 с - 0,42 с = 0,1 с

0,35 с - 0,42 с = -0,07 з

0,29 с - 0,42 с = -0,13 з

0,49 с - 0,42 с = 0,07 с

Тепер складіть квадрати цих різниць: (0,01) + (0,1) + (-0,07) + (-0,13) + (0,07) = 0,037 з.

Знайти середнє арифметичне цієї суми можна, розділивши її на 5: 0,037 / 5 = 0,0074 з.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 9

Знайдіть середньоквадратичне відхилення. Щоб знайти середньоквадратичне відхилення, просто візьміть квадратний корінь із середнього арифметичного суми квадратів. Квадратний корінь з 0,0074 = 0,09 с, так що середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,09 с.

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 10

5. Запишіть остаточну відповідь. Щоб зробити це, запишіть середнє значення всіх вимірювань плюс-мінус середньоквадратичне відхилення. Оскільки середнє значення всіх вимірювань одно 0,42 с, а середньоквадратичне відхилення 0,09 с, то остаточну відповідь 0,42 с ± 0,09 с.

Метод 3 з 3:

Арифметичні дії з похибками

1. додавання. Щоб скласти величини з погрішностями, складіть окремо величини і окремо похибки.

(5 см ± 0,2 см) + (3 см ± 0,1 см) =
(5 см + 3 см) ± (0,2 см + 0,1 см) =
8 см ± 0,3 см

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 12

2. віднімання. Щоб відняти величини з погрішностями, відніміть величини і складіть похибки.

(10 см ± 0,4 см) - (3 см ± 0,2 см) =

(10 см - 3 см) ± (0,4 см + 0,2 см) =

7 см ± 0,6 см

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 13

3. множення. Щоб помножити величини з погрішностями, перемножте величини і складіть Відносні похибки (у відсотках). Розрахувати можна тільки відносну похибку, а не абсолютну, як і у випадку зі складанням і відніманням. Щоб дізнатися відносну похибку, розділіть абсолютну похибка на виміряне значення, потім помножте на 100, щоб висловити результат у відсотках. наприклад:

(6 см ± 0,2 см) = (0,2 / 6) x 100 - додавши знак відсотка, отримуємо 3,3%.
отже:

(6 см ± 0,2 см) х (4 см ± 0,3 см) = (6 см ± 3,3%) x (4 см ± 7,5%)

(6 см x 4 см) ± (3,3 + 7,5) =

24 см ± 10,8% = 24 см ± 2,6 см

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 14

4. розподіл. Щоб розділити величини з погрішностями, розділіть величини і складіть Відносні похибки.

(10 см ± 0,6 см) ÷ (5 см ± 0,2 см) = (10 см ± 6%) ÷ (5 см ± 4%)

(10 см ÷ 5 см) ± (6% + 4%) =

2 см ± 10% = 2 см ± 0,2 см

Зображення з назвою Calculate Uncertainty Step 15

5. Зведення в ступінь. Для того, щоб звести в ступінь величину з похибкою, зведіть величину в ступінь, а відносну похибку помножте на ступінь.

(2,0 см ± 1,0 см) =

(2,0 см) ± (50%) x 3 =

8,0 см ± 150% або 8,0 см ± 12 см

Поради

Ви можете дати похибку як для загального результату всіх вимірювань, так і для кожного результату одного виміру в окремо. Як правило, дані, отримані з декількох вимірювань, менш достовірні, ніж дані, отримані безпосередньо з окремих вимірювань.

попередження

Точні науки ніколи не працюють з «істинними» величинами. Хоча правильне вимір, швидше за все, дасть величину в межах похибки, немає ніякої гарантії, що це буде так. Наукові вимірювання допускають можливість помилок.
Похибки, описані тут, застосовні тільки для випадків нормального розподілу (розподілу Гаусса). Інші розподілу ймовірностей вимагають інших рішень.