Як розкласти на множники тричлен

В алгебрі тричлен - це многочлен, що містить три члена і має вигляд ax + bx + c. Трехчлен можна розкласти на множники кількома способами залежно від виду самого трехчлена. Багаточлени вищих ступенів з членами x або x не завжди можна розкласти за допомогою описаних методів, але їх можна спростити або використовувати заміну, щоб перетворити їх і вирішити як звичайне квадратне рівняння.

кроки

Метод 1 з 3:

Розкладання x + bx + c

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 1

1. Навчіться перемножать члени двох Двочленні. Для цього перемножте перші члени, потім перемножте перший член (першого двочлена) і другий член (другого двочлена), потім перемножте другий член (першого двочлена) і перший член (другого двочлена), а потім перемножте другі члени. Наприклад, розглянемо твір двох Двочленні (х + 2) (х + 4).

Перемноження перших членів: (x+2) (x+4) = x + __
Перемноження першого члена (першого двочлена) і другого члена (другого двочлена): (x+2) (x+4) = X+4x + __
Перемноження другого члена (першого двочлена) і першого члена (другого двочлена): (x+2) (з+4) = x + 4x+2x + __
Перемноження друге членів: (x+2) (X+4) = X + 4x + 2x+8
Спрощення: x+4x + 2x+8 = x+6кс+8

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 2

2. Розкладання на множники. При перемножуванні двох Двочленні ви отримуєте тричлен видуax+bx+c, де a, b, c - постійні коефіцієнти (тобто числа). Тому можна зробити і зворотну операцію - розкласти тричлен на твір двох Двочленні.

Якщо тричлен дан в іншому вигляді, переставте його члени в потрібному порядку. Наприклад, перепишіть 3x - 10 + x у вигляді x + 3x - 10.

Так як в цьому тричленної найвищий показник ступеня дорівнює 2 (x), то такий тричлен називається квадратним.

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 3

3. Запишіть даний вам тричлен, поставте знак рівності, а потім напишіть відповідь у вигляді (____) (____). Ви заповните прогалини в міру розкладання трехчлена на множники.

Між пробілами не пишіть «+» або «-», так як правильні знаки будуть визначені в процесі розкладання трехчлена на множники.

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 4

4. Заповніть перші прогалини в обох дужках. У простих тричленне, в яких перший член - це x, першими членами в обох Двочленні будуть з і з, так какx * x = x.

У нашому прикладі x + 3x - 10 перший член - це x, тому напишіть:

(X __) (x__)

Більш складні Трехчлен будуть розглянуті в наступному розділі (наприклад, Трехчлен, у яких перший член це 6x або -x).

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 5

5. Якщо ви повернетеся до першого кроку цього розділу, то побачите, що в результаті перемноження друге членів Двочленні виходить вільний член трехчлена (член без змінної «х»). Таким чином, необхідно знайти два числа, які при перемножуванні дадуть вільний член.

У нашому прикладі x + 3x - 10 вільний член дорівнює -10.

Які два числа при перемножуванні дають -10?

Ось такі: -1 * 10 1 * -10- -2 * 5 2 * -5.

Поки не міняйте відповідь. Він як і раніше виглядає так: (X __) (x__).

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 6

6. Заповніть другі прогалини в обох дужках. У попередньому кроці ви отримали пари множників (вільного члена). Підставте їх у відповідь і перевірте, чи відповідають вони другому члену даного вам трехчлена.

У нашому прикладі x + 3x - 10 другий член дорівнює 3х.

Підставте -1 і 10: (х-1) (х + 10) = x + 9x - 10.9х ≠ 3х. Не підходить.

Підставте 1 і -10: (х + 1) (х-10) = x - 9x - 10.-9х ≠ 3х. Не підходить.

Підставте -2 і 5: (х-2) (х + 5) = x + 3x - 10.3х = 3х. підходить. Таким чином, правильна відповідь: (х-2) (х + 5).

У простих випадках, коли у змінної x немає коефіцієнта, ви можете зробити так: просто складіть два множники (які при перемножуванні дають вільний член) і до результату припишіть «х». У нашому прикладі: (-2 + 5) х = 3x. Це не спрацює при розкладанні складних тричленів, тому запам`ятайте детальний метод, викладений вище.

Метод 2 з 3:

Розкладання складних тричленів

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 7

1. Спростіть складний тричлен до простого (якщо можливо). Наприклад, розглянемо складний тричлен 3x + 9x - 30. Визначте, чи можна винести за дужки загальний множник (який дорівнює найбільшому загальному дільнику кожного члена трехчлена). У нашому прикладі за дужку можна винести 3:

3x = (3) (x)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Таким чином, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). Ви можете розкласти отриманий простий тричлен так, як описано в попередньому розділі. Ви отримаєте: (3) (х-2) (х + 5).

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 8

2. Більш складне спрощення. Можливо, за дужки потрібно винести множник зі змінною або виконати процес винесення множника за дужки кілька разів, щоб отримати простий тричлен. Ось кілька прикладів:

2xy + 14xy + 24y = (2y)(X + 7x + 12)

x + 11x - 26x = (X)(X + 11x - 26)

-x + 6x - 9 = (-1)(X - 6x + 9)

Не забудьте розкласти на множники отримані прості Трехчлен за допомогою методу, описаного в попередньому розділі. Відповіді та додаткові завдання ви знайдете в кінці цієї статті.

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 9

3. Розкладання тричленів, у яких при x є коефіцієнт. Деякі складні квадратного тричлена можна спростити до простих тричленів. Наприклад, розкладіть 3x + 10x + 8.

Відповідь запишіть у вигляді: (__ __) (__ __)

Заповніть перші прогалини в обох дужках. Так як 3х * х = 3x, то проміжна відповідь запишіть у вигляді: (3x __) (x__).

Напишіть пари множників вільного члена 8: 1 * 8-2 * 4.

Заповніть другі прогалини в обох дужках. Підставте у відповідь пари множників вільного члена і перевірте, чи відповідають вони другому члену (10х) даного вам трехчлена. Увага: тут порядок співмножників має значення, так як перший член першого двочлена дорівнює 3х, а не просто «х».

(3x + 1) (x + 8) = 3x + 25х + 8- 25x ≠ 10х- не підходить.

(3x + 8) (x + 1) = 3x + 11х + 8- 11x ≠ 10х- не підходить.

(3x + 2) (x + 4) = 3x + 14х + 8- 14x ≠ 10х- не підходить.

(3x + 4) (x + 2) = 3x + 10х + 8- 10x = 10х- підходить.

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 10

4. Використовуйте заміну для розкладання многочленів вищих ступенів, наприклад, з членом, рівним x. Використовуйте заміну, щоб привести такий многочлен до простого многочлену. наприклад:

x + 13x + 36x

= (X) (x + 13x + 36)

Введіть нову змінну. Наприклад, y = x- підставте цю змінну в даний тричлен:

(X) (y + 13y + 36)

= (X) (y + 9) (y + 4). Тепер поверніться до вихідної змінної:

= (X) (x + 9) (x + 4)

=(X) (x ± 3) (x ± 2)

Метод 3 з 3:

Розкладання в особливих випадках

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 11

1. Прості числа. Перевірте, чи є коефіцієнт в першому і / або третьому члені простим числом. Просте число - це число, що ділиться тільки на 1 або саме себе, тобто у такого числа тільки одна пара множників.

Наприклад, в тричленної x + 6x + 5 вільний член 5 - це просте число, тому твір Двочленні можна записати у вигляді (__ 5) (__ 1).
У тричленну 3x + 10x + 8 коефіцієнт в першому члені 3 є простим числом, тому твір Двочленні можна записати у вигляді (3x __) (x__).
У тричленну 3x + 4x + 1 обидва коефіцієнта 3 і 1 є простими числами, тому єдино правильним рішенням є твір Двочленні (3x + 1) (x + 1). Необхідно перемножити ці двочлена, щоб перевірити відповідь, так як деякі Трехчлен взагалі не можна розкласти на множники (наприклад, тричлен 3x + 100x + 1 на множники не розкладається).

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 12

2. Перевірте, чи є тричлен повним квадратом. Трехчлен, що є повним квадратом, можна розкласти на добуток двох однакових Двочленні, наприклад, (х + 1) (х + 1) = (x + 1). Ось кілька найбільш поширених тричленів, є повними квадратами:

x + 2x + 1 = (x + 1), і x-2x + 1 = (x-1)

x + 4x + 4 = (x + 2), і x-4x + 4 = (x-2)

x + 6x + 9 = (x + 3), і x-6x + 9 = (x-3)

У тричленну виду аз + bx + з і який є повним квадратом коефіцієнти а і з завжди є повними квадратами (наприклад, 1, 4, 9, 16, 25), а коефіцієнт b (Позитивний або негативний) завжди дорівнює 2 (√a * √c).

Зображення з назвою Factor Trinomials Step 13

3. Перевірте, чи існує рішення. Не всі Трехчлен можна розкласти на множники. Якщо вам дано квадратний тричлен виду ax + bx + c, використовуйте формулу для вирішення квадратного рівняння, щоб визначити, чи можна розкласти на множники цей тричлен. Якщо в результаті рішення ви отримаєте квадратний корінь з від`ємного числа, то тричлен розкласти на множники не можна.

Для тричленів, відмінних від квадратних, використовуйте критерій Ейзенштейна, описаний в розділі «Поради».

Відповіді та додаткові завдання

Тут представлені відповіді на завдання з розділу «Розкладання складних тричленів». Ви вже спростили Трехчлен, тому розкладіть їх за допомогою методу, описаного в першому розділі, а потім отриману відповідь порівняйте з наступним відповідями:
(2y) (x + 7x + 12) = (X + 3) (x + 4)
(X) (x + 11x - 26) = (X + 13) (x-2)
(-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
Спробуйте вирішити такі завдання. Тут в кожному тричленне можна винести за дужки загальний множник. Виділіть порожній простір після знаків рівності, щоб подивитися правильні відповіді:
3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1)
-5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Спробуйте вирішити такі завдання. Тут Трехчлен не спрощує, тому знайдіть рішення у вигляді (_x + __) (_ x + __). Виділіть порожній простір після знаків рівності, щоб подивитися правильні відповіді:
2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1)
9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Підказка: працюйте з декількома парами множників 9x.)

Поради

Якщо з`ясувати, як розкласти на множники квадратний тричлен (ax + bx + c), не можна, використовуйте формулу для вирішення квадратного рівняння, щоб знайти «х».
Використовуйте критерій Ейзенштейна для визначення неможливості розкладання трехчлена на множники. Цей критерій можна застосувати для многочленів будь-якого порядку, але краще всього працює з тричленне. Якщо існує просте число p, яке без остачі ділить коефіцієнти двох останніх членів і яке відповідає наступним умовам, то многочлен розкласти не можна.

Вільний член (с) ділиться на р, але не на p.
Коефіцієнт першого члена (а) не ділиться на p.
Наприклад, многочлен 14x + 45x + 51 розкласти не можна, так як просте число 3 ділить 45 і 51, але не 14, а 51 не ділиться на 3.

попередження

Хоча це і вірно для квадратних тричленів, інші Трехчлен не завжди розкладаються на твір двох Двочленні. Наприклад: x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).