Як спростити квадратний корінь

Спростити квадратний корінь зовсім не так складно, як може здатися. Потрібно просто розкласти число на множники і витягти з-під знака кореня повні квадрати. Запам`ятавши кілька найпоширеніших квадратів і навчившись розкладати число на множники, ви зможете запросто спрощувати квадратного кореня.

кроки

Метод 1 з 3:

Розкладання на множники

1. Мета спрощення квадратного кореня - це переписати його в такій формі, яку простіше використовувати в обчисленнях. Розкладання числа на множники - це знаходження двох або декількох чисел, які при перемножуванні дадуть вихідне число, наприклад, 3 х 3 = 9. Знайшовши множники, ви зможете спростити квадратний корінь або взагалі позбутися від нього. Наприклад, √9 = √ (3x3) = 3.

2. Якщо подкоренное число парне, розділіть його на 2. Якщо подкоренное число непарне, спробуйте розділити його на 3 (якщо число на 3 не ділиться, ділите його на 5, 7 і так далі за списком простих чисел). Делите підкореневе число виключно на прості числа, так як будь-яке число можна розкласти на прості множники. Наприклад, вам не потрібно ділити підкореневе число на 4, так як 4 ділиться на 2, а ви вже розділили підкореневе число на 2.

3. Перепишіть завдання як корінь з добутку двох чисел. Наприклад, спростимо √98: 98 ÷ 2 = 49, тому 98 = 2 x 49. Перепишіть завдання так: √98 = √ (2 x 49).

4. Продовжуйте розкладання чисел до тих пір, поки під коренем не залишиться твір двох однакових чисел і інших чисел. Це має сенс, якщо замислитися над сенсом квадратного кореня: √ (2 х 2) дорівнює числу, яке, будучи помноженим саме на себе, буде дорівнює 2 х 2. Очевидно, що це число 2! Повторіть описані вище дії для нашого прикладу: √ (2 х 49).

2 вже максимально спрощено, так як це просте число (дивіться список простих чисел вище). Тому розкладіть на множники число 49.

49 на 2, 3, 5 не ділиться. Тому переходите до наступного простому числу - 7.

49 ÷ 7 = 7, тому 49 = 7 x 7.

Перепишіть завдання так: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. Спростіть квадратний корінь. Так як під коренем знаходиться твір 2 і двох однакових чисел (7), ви можете винести таке число за знак кореня. У нашому прикладі: √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).

Як тільки під коренем ви отримали два однакових числа, ви можете зупинитися з розкладанням чисел на множники (якщо їх все ще можна розкласти). Наприклад, √ (16) = √ (4 х 4) = 4. Якщо ви продовжите розкладання чисел на множники, ви отримаєте той же відповідь, але зробите більше обчислень: √ (16) = √ (4 х 4) = √ (2 х 2 х 2 х 2) = √ (2 х 2) √ ( 2 х 2) = 2 х 2 = 4.

6. Деякі коріння можна спрощувати багаторазово. У цьому випадку числа, що виносяться з-під знака кореня, і числа, що стоять перед коренем, перемножуються. наприклад:

√180 = √ (2 x 90)

√180 = √ (2 x 2 x 45)

√180 = 2√45, але 45 можна розкласти на множники і ще раз спростити корінь.

√180 = 2√ (3 x 15)

√180 = 2√ (3 x 3 x 5)

√180 = (2) (3√5)

√180 = 6√5

7. Якщо ви не можете отримати два однакових числа під знаком кореня, то такий корінь спростити не можна. Якщо ви розклали подкоренное вираз на твір простих множників і серед них немає двох однакових чисел, то такий корінь спростити не можна. Наприклад, спробуємо спростити √70:

70 = 35 x 2, тому √70 = √ (35 x 2)

35 = 7 x 5, тому √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)

Всі три множника є простими, тому їх більше не можна розкласти на множники. Всі три множника різні, тому ви не зможете винести ціле число з-під знака кореня. Отже, √70 спростити не можна.

Метод 2 з 3:

повний квадрат

1. Запам`ятайте кілька квадратів простих чисел. Квадрат числа виходить при його зведенні до другого степеня, тобто множенні на саме себе. Наприклад, 25 - повний квадрат, тому що 5 x 5 (5) = 25. Запам`ятавши хоча б десяток повних квадратів, ви зможете швидко спрощувати коріння. Ось перші десять повних квадратів:

1 = 1
2 = 4
3 = 9
4 = 16
5 = 25
6 = 36
7 = 49
8 = 64
9 = 81
10 = 100

2. Якщо під знаком квадратного кореня ви бачите повний квадрат, то позбудьтеся від знака кореня (√) і запишіть квадратний корінь цього повного квадрата. Наприклад, якщо під знаком квадратного кореня знаходиться число 25, то такий корінь дорівнює 5, так як 25 є повним квадратом.

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

3. Розкладіть число під знаком кореня на твір повного квадрата і іншого числа. Якщо ви помітили, що подкоренное вираз можна розкласти на твір повного квадрата і якогось числа, то ви заощадите час і зусилля. Ось кілька прикладів:

√50 = √ (25 х 2) = 5√2. Якщо подкоренное число закінчується на 25, 50 або 75, ви завжди можете розкласти його на твір 25 і якогось числа.

√1700 = √ (100 х 17) = 10√17. Якщо подкоренное число закінчується на 00, ви завжди можете розкласти його на твір 100 і якогось числа.

√72 = √ (9 х 8) = 3√8. Якщо сума цифр подкоренного числа дорівнює 9, ви завжди можете розкласти його на твір 9 і якогось числа.

√12 = √ (4 х 3) = 2√3. Завжди перевіряйте, діляться чи подкоренное числа на 4.

4. Розкладіть підкореневе число на твір декількох повних квадратів. В цьому випадку винесіть їх з-під знака кореня і перемножте. наприклад:

√72 = √ (9 x 8)

√72 = √ (9 x 4 x 2)

√72 = √ (9) x √ (4) x √ (2)

√72 = 3 x 2 x √2

√72 = 6√2

Метод 3 з 3:

Термінологія

1. √ - це знак квадратного кореня. Наприклад, в √25, «√» - це знак квадратного кореня.

2. Під знаком кореня записується подкоренное вираз. Наприклад, «25» - це подкоренное вираз (число) в √25.

3. Коефіцієнт - це число, яке стоїть перед знаком кореня (зліва від нього). Це число, на яке множиться квадратний корень- воно записується зліва від знака √. Наприклад, «7» - це коефіцієнт в 7√2.

4. Множник - ціле число, що отримується при розподілі іншого числа. 2 - множник 8, так як 8 ÷ 4 = 2, а 3 не є множником 8, так як 8 на 3 не ділиться (без остачі). 5 - множник 25, так як 5 x 5 = 25.

5. Зрозумійте сенс спрощення квадратного кореня. Спрощення квадратного кореня - це знаходження серед множників подкоренного вираження повних квадратів і їх вилучення з-під кореня. Якщо число є повним квадратом, то знак кореня зникне, як тільки ви записали їх корінь. Наприклад, √98 може бути спрощений до 7√2.

Поради

Для знаходження повного квадрата (як одного з множників подкоренного вираження) просто перегляньте список повних квадратів, починаючи з повного квадрата, найближчого до подкоренного числу (і далі в порядку зменшення). Шукаючи повний квадрат в числі 27, почніть з повного квадрата 25, потім 16, і зупиніться на 9.

попередження

Ні в якому разі у вас не повинна з`явитися десяткова дріб!
Калькулятори можуть бути корисні для обчислень з великими подкоренного числами, але краще практикуватися в спрощенні коренів вручну.