Як розкласти число на твір простих множників

Будь-яке натуральне число можна розкласти на твір простих множників. Якщо ви не любите мати справу з великими числами, такими як 5733, навчитеся розкладати їх на прості множники (в даному випадку це 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подібне завдання часто зустрічається в криптографії, яка займається проблемами інформаційної безпеки. Якщо ви ще не готові створити власну систему безпечної електронної пошти, для початку навчитеся розкладати числа на прості множники.

кроки

Частина 1 з 2:

Знаходження простих множників

Дізнайтеся, що таке розкладання числа на множники. Розкладання числа на твір множників є процес його "розбиття" на більш дрібні частини. При перемножуванні ці частини, або множники, дають початкове число.

Наприклад, число 18 можна розкласти на такі твори: 1 x 18, 2 x 9, або 3 x 6.

2. Згадайте, що таке прості числа. Просте число ділиться без залишку лише на два числа: на саме себе і на 1. Наприклад, число 5 можна представити у вигляді добутку 5 і 1. Це число не можна розкласти на інші множники. Мета розкладання числа на прості множники полягає в тому, щоб представити його у вигляді добутку простих чисел. Це особливо зручно при операціях з дробом, так як дозволяє порівнювати і спрощувати їх.

3. Почніть з вихідного числа. Виберіть складене число більше 3. Немає сенсу брати просте число, тому що воно ділиться лише на саме себе і одиницю.

приклад: розкладемо на твір простих чисел число 24.

4. Розкладемо дане число на твір двох множників. Знайдемо два менших числа, твір яких одно вихідного числа. Можна використовувати будь-які множники, але простіше взяти прості числа. Один з хороших способів полягає в тому, щоб спробувати поділити вихідне число спочатку на 2, потім на 3, потім на 5 і перевірити, на які з цих простих чисел воно ділиться без залишку.

приклад: якщо ви не знаєте множників для числа 24, спробуйте поділити його на малі прості числа. Так ви виявите, що дане число ділиться на 2: 24 = 2 x 12. Це гарний початок.

Оскільки 2 є простим числом, його добре використовувати при розкладанні парних чисел.

5. Почніть будувати дерево множників. Ця проста процедура допоможе вам розкласти число на прості множники. Для початку проведіть від вихідного числа дві "гілки" вниз. На кінці кожної гілки напишіть знайдені множники.

приклад:

212

6. Розкладіть на множники наступний рядок чисел. Погляньте на два нових числа (другий рядок дерева множників). Обидва вони відносяться до простих чисел? Якщо одне з них не є простим, також розкладіть його на два множники. Проведіть ще дві гілки і напишіть два нових множника в третьому рядку дерева.

приклад: 12 не є простим числом, тому його слід розкласти на множники. Використовуємо розкладання 12 = 2 x 6 і запишемо його в третьому рядку дерева:

212

2 x 6

7. Продовжуйте рухатися вниз по дереву. Якщо один з нових множників виявиться простим числом, проводите від нього одну "гілку" і пишіть на її кінці це ж число. Прості цифри не розкладаються на менші множники, тому просто переносите їх на рівень нижче.

приклад: 2 є простим числом. Просто перенесіть 2 з другої в третю рядок:

212

226

8. Продовжуйте розкладати числа на множники, поки у вас не залишаться одні прості числа. Перевіряйте кожну нову рядок дерева. Якщо хоч один з нових множників не є простим числом, розкладіть його на множники і запишіть новий рядок. Зрештою у вас залишаться одні прості числа.

приклад: 6 не є простим числом, тому його також слід розкласти на множники. У той же час 2 являє собою просте число, і ми переносимо дві двійки на наступний рівень:

212

226

///

2223

9. Запишіть останній рядок у вигляді добутку простих множників. Зрештою у вас залишаться одні прості числа. Коли це трапиться, розкладання на прості множники завершено. Останній рядок являє собою набір простих чисел, твір яких дає вихідне число.

Перевірте відповідь: перемножте стоять в останньому рядку числа. В результаті має вийти вихідне число.

приклад: в останньому рядку дерева множників містяться числа 2 і 3. Обидва цих числа є простими, тому розкладання завершено. Таким чином, розкладання числа 24 на прості множники має наступний вигляд: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.

Порядок множників не має значення. Розкладання можна записати також у вигляді 2 x 3 x 2 x 2.

10. При бажанні спростите відповідь за допомогою степеневої записи. Якщо ви знайомі зі зведенням чисел в ступінь, можна записати отриманий відповідь в більш простому вигляді. Пам`ятайте, що внизу записується підставу, а використовують наголоси число показує, скільки разів це підстава слід помножити на саме себе.

приклад: скільки раз зустрічається число 2 в знайденому розкладанні 2 x 2 x 2 x 3? Три рази, тому вираз 2 x 2 x 2 можна записати у вигляді 2. У спрощеній записи отримуємо 2 x 3.

Частина 2 з 2:

Використання розкладання на прості множники

1. Знайдіть найбільший спільний дільник двох чисел. Найбільшим спільним дільником (НСД) двох чисел називається максимальне число, на яке обидва числа діляться без залишку. У наведеному нижче прикладі показано, як за допомогою розкладання на прості множники знайти найбільший спільний дільник чисел 30 і 36.

Розкладемо обидва числа на прості множники. Для числа 30 розкладання має вигляд 2 x 3 x 5. Число 36 розкладається на прості множники таким чином: 2 x 2 x 3 x 3.
Знайдемо число, яке зустрічається в обох розкладах. Перекреслимо це число в обох списках і напишемо його з нового рядка. Наприклад, 2 зустрічається в двох разложениях, тому запишемо 2 в новому рядку. Після цього у нас залишається 30 = 2 x 3 x 5 і 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
Повторюйте цю дію, поки в розкладах не залишиться загальних множників. В обох списків входить також число 3, тому в новому рядку можна записати 2 і 3. Після цього знову порівняйте розкладання: 30 = ~~2 x 3~~ x 5 і 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Як видно, в них не залишилося загальних множників.
Щоб знайти найбільший спільний дільник, слід знайти твір всіх загальних множників. У нашому прикладі це 2 і 3, тому НСД дорівнює 2 x 3 = 6. Це найбільше число, на яке діляться без залишку числа 30 і 36.

2. За допомогою НСД можна спрощувати дроби. Якщо ви підозрюєте, що якусь дріб можна скоротити, використовуйте найбільший спільний дільник. За описаною вище процедурою знайдіть НСД чисельника і знаменника. Після цього поділіть чисельник і знаменник дробу на це число. В результаті ви отримаєте ту ж дріб в більш простому вигляді.

Наприклад, спростимо дріб /₃₆. Як ми встановили вище, для 30 і 36 НОД дорівнює 6, тому поділимо чисельник і знаменник на 6:

30 ÷ 6 = 5

36 ÷ 6 = 6

/₃₆ = /₆

3. Знайдемо найменше спільне кратне двох чисел. Найменше спільне кратне (НОК) двох чисел - це найменше число, яке ділиться без залишку на обидва даних числа. Наприклад, НОК 2 і 3 є 6, оскільки це найменше число, яке ділиться на 2 і 3. Нижче наведено приклад знаходження НОК за допомогою розкладання на прості множники:

Почнемо з двох розкладів на прості множники. Наприклад, для числа 126 розкладання можна записати як 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 розкладається на прості множники у вигляді 2 x 2 x 3 x 7.

Порівняємо, скільки разів кожен множник зустрічається в розкладах. Виберіть той список, де множник зустрічається максимальне число раз, і обведіть це місце. Наприклад, число 2 зустрічається один раз в розкладанні для числа 126 і двічі в списку для 84, тому слід обвести 2 x 2 у другому списку множників.

Повторіть цей крок для кожного множника. Наприклад, 3 зустрічається частіше в першому розкладанні, тому слід обвести в ньому 3 x 3. Число 7 зустрічається по одному разу в обох списках, так що обводимо 7 (Неважливо в якому списку, якщо даний множник зустрічається в обох списках однакове число раз).

Щоб знайти НОК, перемножте все обведені числа. У нашому прикладі найменшим спільним кратним чисел 126 і 84 є 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Це найменше число, яке ділиться на 126 і 84 без залишку.

4. Використовуйте НОК для складання дробів. При складанні двох дробів необхідно привести їх до спільного знаменника. Для цього знайдіть НОК двох знаменників. Потім помножте чисельник і знаменник кожного дробу на таке число, щоб знаменники дробів стали рівні НОК. Після цього можна скласти дробу.

Наприклад, необхідно знайти суму /₆ + /₂₁.

За допомогою наведеного вище методу можна знайти НОК для 6 і 21. Воно дорівнює 42.

Перетворимо дріб /₆ так, щоб її знаменник дорівнював 42. Для цього необхідно поділити 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Тепер помножимо чисельник і знаменник дробу на 7: /₆ x /₇ = /₄₂.

Щоб привести другу дріб до знаменника 42, поділимо 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Помножимо чисельник і знаменник дробу на 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.

Після того як дробу приведені до однакового знаменника, їх можна легко скласти: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

приклади завдань

Спробуйте вирішити наведені нижче завдання самостійно. Якщо ви вважаєте, що отримали правильну відповідь, виділіть мишкою місце після двокрапки в умові завдання. Останні завдання найбільш складні.
Знайдіть розкладання на прості множники для числа 16: 2 x 2 x 2 x 2
Запишіть відповідь у статечної формі: 2
Знайдіть розкладання на прості множники для числа 45: 3 x 3 x 5
Запишіть відповідь у статечної формі: 3 x 5
Знайдіть розкладання на прості множники для числа 34: 2 x 17
Знайдіть розкладання на прості множники для числа 154: 2 x 7 x 11
Знайдіть розкладання на прості множники для чисел 8 і 40, а потім визначте їх найбільший спільний дільник: розкладання на прості множники числа 8 має вигляд 2 x 2 x 2 x 2 розкладання на прості множники числа 40 має вигляд 2 x 2 x 2 x 5 НСД двох чисел 2 x 2 x 2 = 6.
Знайдіть розкладання на прості множники для чисел 18 і 52 і знайдіть їх найменше спільне кратне: розкладання на прості множники числа 18 має вигляд 2 x 3 x 3 розкладання на прості множники числа 52 має вигляд 2 x 2 x 13- НСК двох чисел становить 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Поради

Кожне число має характерне для нього єдине розкладання на прості множники. Неважливо, яким чином ви знаходите це розкладання, в кінці повинен вийти один і той же відповідь. Це називається основною теоремою арифметики.
Замість того щоб кожен раз переписувати прості числа в новому рядку дерева множників, можна залишати їх на місці і просто обводити. Після закінчення розкладання в нього увійдуть всі обведені прості множники.
Завжди перевіряйте отриману відповідь. Ви можете допустити помилку і не помітити цього.
Будьте готові до завдань із секретом. Якщо вас просять знайти розкладання на прості множники простого числа, немає необхідності проводити будь-які обчислення. Наприклад, для числа 17 розкладанням на прості множники буде 17- це число не розкладається на інші прості множники.
Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне можна знайти для трьох і більше чисел.

попередження

Дерево множників дозволяє визначити лише прості, а не всі можливі множники.