Як розкласти многочлен третього ступеня на множники

Ця стаття присвячена розкладанню на множники многочлена третього ступеня. Ми розповімо, як це зробити за допомогою методу угруповання і через вільний член.

кроки

Частина 1 з 2:

Розкладання методом угруповання

1. Розбийте многочлен на два складових многочлена (на дві групи). Розкладіть многочлен на дві групи і працюйте з кожною з них окремо.

Наприклад, візьмемо багаточлен: x + 3x - 6x - 18 = 0. Розіб`ємо його на групи (x + 3x) і (- 6x - 18)

2. Як знайти спільну множник в кожній групі.

Для (x + 3x) загальним множником буде x

Для (- 6x - 18) загальний множник -6.

3. Винесіть загальні множники за дужки (спрощення).

Виносимо x за дужки першого двочлена і отримуємо: x (x + 3).

Виносимо -6 за дужки другого двочлена і отримуємо: -6 (x + 3).

4. Якщо в спрощених групах є один і той же поліном, то можна скласти загальні знаменники і помножити на такий многочлен.

У нашому випадку отримаємо: (x + 3) (x - 6).

5. Знайдіть рішення кожного з отриманих двочлена (множника). Якщо у вас невелика x, то пам`ятайте, що можливий як позитивний, так і негативний відповідь.

У нашому прикладі x = -3 і x = √6.

Частина 2 з 2:

Розкладання через вільний член

1. Наведіть многочлен до виду: ax + bx + cx + d.

Для прикладу будемо розглядати многочлен: x - 4x - 7x + 10 = 0.

2. Знайдіть всі множники «d».Вільний член «d» - член без змінної «x» (член, який не містить невідомого).

Множники - числа, які при перемножуванні дають розглядається число. У нашому випадку множники 10, або «d»: 1, 2, 5 і 10.

3. Знайдіть один множник, який є рішенням многочлена. Тобто потрібно вибрати множник, при якому многочлен дорівнює 0, якщо цей множник підставити замість «x».

Почнемо з 1. Підставляючи «1» замість «x», отримаємо:
(1) - 4 (1) - 7 (1) + 10 = 0

Рішення: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.

Так як 0 = 0, то x = 1 є коренем вихідного многочлена.

4. зробимо спрощення. Якщо x = 1, то можна спростити вихідний многочлен без зміни його значення.

«X = 1» - це те ж саме, що і «x - 1 = 0» або «(x - 1)». Ми просто перенесли 1 в ліву частину рівності.

5. Винесіть корінь за дужки початкового многочлена. «(X - 1)» - це наше коріння многочлена. Спробуємо винести його за дужки. Працюйте з кожним членом многочлена окремо.

Чи можна винести (x - 1) з x? немає. Але можна взяти ( «зайняти») -x з другого члена-і тоді можна винести наш корінь за дужки: x (x - 1) = x - x.

Чи можна винести (x - 1) з решти другого члена? немає. Для цього необхідно взяти щось з третього члена. Потрібно взяти 3x з -7x. Це дасть: 3x (x - 1) = -3x + 3x.

Так як ми взяли 3x з -7x, то нашим третім членом буде тепер -10x, а вільним членом 10. Можна винести корінь (х - 1)? Так! -10 (x - 1) = -10x + 10.

Таким чином, ми переробили члени нашого многочлена для того, щоб винести (x - 1) за дужки вихідного многочлена. Наш перероблений многочлен виглядає наступним чином: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, але це те ж саме, що і x - 4x - 7x + 10 = 0.

6. Продовжимо розкладати многочлени через вільний член. Винесіть (x - 1) з членів, отриманих за крок 5:

x (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Цей многочлен можна спростити через винесення (х - 1) за загальні дужки: (x - 1) (x - 3x - 10) = 0.

Тут розкладіть (x - 3x - 10). Це призведе до (x + 2) (x - 5).

7. Корінням початкового многочлена будуть коріння його розкладеного варіанти. Це можна перевірити, безпосередньо підставивши кожен корінь в вихідний многочлен.

(X - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Корінням будуть: 1, -2, і 5.

Підставте -2 в вихідний многочлен: (-2) - 4 (-2) - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.

Підставте 5 в вихідний многочлен: (5) - 4 (5) - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

Поради

Кубічний многочлен є добутком трьох многочленів першого ступеня або твором одного многочлена першого ступеня і неразлагающіеся многочлена другого ступеня. В останньому випадку - після знаходження многочлена першого ступеня - використовується розподіл для отримання многочлена другого ступеня.
Все кубічні многочлени з раціональними дійсними коренями можна розкласти. Кубічні многочлени виду x ^ 3 + x + 1, у яких ірраціональні корені, не можна розкласти на багаточлени з цілими (раціональними) коефіцієнтами. Хоча такий многочлен може бути розкладений по кубічної формулою, він не розкладається як цілий многочлен.