Як скорочувати алгебраїчні дроби

На перший погляд алгебраїчні дроби здаються дуже складними, і непідготовлений учень може подумати, що з ними неможливо нічого зробити. Нагромадження змінних, чисел і навіть ступенів навіває страх. Проте, для скорочення звичайних (наприклад, 15/25) і алгебраїчних дробів використовуються одні й ті ж правила.

кроки

Метод 1 з 3:

скорочення дробів

1. Освойте терміни, використовувані для опису алгебраїчних дробів. Наведені нижче терміни поширені при розгляді алгебраїчних дробів, і вони будуть використовуватися в подальшому при розгляді прикладів:

чисельник. Верхня частина дробу (наприклад, (X + 5)/ (2x + 3)).
знаменник. Нижня частина дробу (наприклад, (x + 5) /(2x + 3)).
Загальний дільник. Так називається число, на яке діляться верхня і нижня частини дробу. Наприклад, в дробу 3/9 загальним дільником є 3, оскільки обидва числа діляться на 3.
множник. Це такі числа, при перемножуванні яких виходить заданий число. Наприклад, число 15 розкладається на множники 1, 3, 5 і 15. Множниками числа 4 є 1, 2 і 4.
Спрощена форма. Щоб отримати спрощену форму алгебраїчної дробу, слід скоротити всі загальні множники і згрупувати однакові змінні (наприклад, 5x + x = 6x). Якщо нічого більше не скорочується, то дріб має спрощену форму.

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 2

2. Ознайомтеся з діями з простими дробами.Операції зі звичайними і алгебраїчними дробами аналогічні. Наприклад, візьмемо дріб 15/35. Щоб спростити цю дріб, слід знайти спільний дільник. Обидва числа діляться на п`ять, тому ми можемо виділити 5 в чисельнику і знаменнику: 15→5 * 335 → 5 * 7Тепер можна скоротити загальні множники, тобто викреслити 5 в чисельнику і знаменнику. В результаті отримуємо спрощену дріб 3/7.

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 3

3. В алгебраїчних виразах загальні множники виділяються точно так же, як і в звичайних. У попередньому прикладі ми змогли легко виділити 5 з 15 - той же принцип застосуємо і до більш складним виразами, таким як 15x - 5. Знайдемо загальний множник. В даному випадку це буде 5, так як обидва члени (15x і -5) діляться на 5. Як і раніше, виділимо загальний множник і перенесемо його вліво.15x - 5 = 5 * (3x - 1)Щоб перевірити, чи все правильно, досить помножити на 5 стоїть в дужках вираз - в результаті вийдуть ті ж числа, що були спочатку.

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 4

4. Складні члени можна виділяти точно так же, як і прості. Для алгебраїчних дробів застосовні ті ж принципи, що і для звичайних. Це найбільш простий спосіб скоротити дріб. Розглянемо наступну дріб:(X + 2) (x-3)(X + 2) (x + 10)Відзначимо, що і в чисельнику (зверху), і в знаменнику (знизу) присутній член (x + 2), тому його можна скоротити так само, як загальний множник 5 в дробу 15/35: ~~(X + 2)~~(X-3)→(X-3)~~(X + 2)~~(X + 10) → (x + 10)В результаті отримуємо спрощене вираз: (x-3) / (x + 10)

Метод 2 з 3:

Скорочення алгебраїчних дробів

1. Як знайти спільну множник в чисельнику, тобто у верхній частині дробу. При скороченні алгебраїчної дробу насамперед слід спростити обидві її частини. Почніть з чисельника і постарайтеся розкласти його на якомога більшу кількість множників. Розглянемо в даному розділі наступну дріб:9x-315x + 6Почнемо з чисельника: 9x - 3. Для 9x і -3 загальним множником є число 3. Винесемо 3 за дужки, як це робиться зі звичайними числами: 3 * (3x-1). В результаті даного перетворення вийде наступна дріб:3 (3x-1)15x + 6

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 6

2. Як знайти спільну множник в чисельнику.Продовжимо виконання наведеного вище прикладу і випишемо знаменник: 15x + 6. Як і раніше, знайдемо, на яке число діляться обидві частини. І в цьому випадку загальним множником є 3, так що можна записати: 3 * (5x +2). Перепишемо дріб в наступному вигляді:3 (3x-1)3 (5x + 2)

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 7

3. Скоротіть однакові члени. На цьому кроці можна спростити дріб. Скоротіть однакові члени в чисельнику і знаменнику. У нашому прикладі це число 3.
3(3x-1)→(3x-1)
3(5x + 2) → (5x + 2)

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 8

4. Визначте, що дріб має найпростіший вид. Дріб повністю спрощена в тому випадку, коли в чисельнику і знаменнику не залишилося загальних множників. Врахуйте, що не можна скорочувати ті члени, які стоять всередині дужок - в наведеному прикладі немає можливості виділити x з 3x і 5x, оскільки повними членами є (3x -1) і (5x + 2). Таким чином, дріб не піддається подальшому спрощенню, і остаточну відповідь виглядає наступним чином:(3x-1)
(5x + 2)

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 9

5. Потренуйтеся скорочувати дроби самостійно. Кращий спосіб засвоїти метод полягає в самостійному рішенні задач. Під прикладами наведені правильні відповіді.4 (x + 2) (x-13)(4x + 8)відповідь: (X = 13)2x-x5xвідповідь:(2x-1) / 5

Метод 3 з 3:

спеціальні прийоми

1. Винесіть негативний знак за межі дробу. Припустимо, дана наступна дріб:3 (x-4)5 (4-x) Зауважте, що (x-4) і (4-x) "майже" ідентичні, але їх не можна скоротити відразу, оскільки вони "перевернуті". Проте, (x - 4) можна записати як -1 * (4 - x), подібно до того як (4 + 2x) можна переписати у вигляді 2 * (2 + x). Це називається "зміною знака". -1 * 3 (4-x)5 (4-x)Тепер можна скоротити однакові члени (4-x):-1 * 3~~(4-x)~~5~~(4-x)~~Отже, отримуємо остаточну відповідь: -3/5.

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 11

2. Навчіться розпізнавати різницю квадратів. Різниця квадратів - це коли квадрат одного числа віднімається з квадрата іншого числа, як у виразі (a - b). Різницю повних квадратів завжди можна розкласти на дві частини - суму і різницю відповідних квадратних коренів. Тоді вираз прийме наступний вигляд: a - b = (a + b) (a-b) Цей прийом дуже корисний при пошуку спільних членів в алгебраїчних дробах.

Приклад: x - 25 = (x + 5) (x-5)

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 12

Спрощуйте поліноміальні вираження. Поліноми є складні алгебраїчні вирази, які складаються з більш ніж двох членів, наприклад x + 4x + 3. На щастя, багато поліноми можна розкласти на множники. Наприклад, наведене вираз можна записати у вигляді (x + 3) (x + 1).

Зображення з назвою Simplify Algebraic Fractions Step 13

4. Пам`ятайте, що змінні також можна розкладати на множники. Це особливо корисно в разі статечних виразів, таких як x + x. Тут можна винести за дужки змінну в меншій мірі. В даному випадку маємо: x + x = x (x + 1).

Поради

Перевірте, чи правильно ви розклали ту чи іншу вираз на множники. Для цього перемножте множники - в результаті повинно вийти той же самий вираз.
Щоб повністю спростити дріб, завжди виділяйте найбільші множники.