Як розкласти на множники многочлен другого ступеня (квадратне рівняння)

Многочлен містить змінну (х), зведену в ступінь, і кілька членів і / або вільних членів. Розкладання многочлена на множники - розбиття його на короткі і прості многочлени, які перемножуються між собою. Уміння розкладати многочлен на множники вимагає достатніх математичних знань і навичок.

кроки

Метод 1 з 7:

початкові кроки

1. Запишіть рівняння. Стандартна форма квадратного рівняння:

ax + bx + c = 0
Розставте члени, починаючи з найвищого порядку. Розглянемо приклад:

6 + 6x + 13x = 0
Наведіть дане рівняння до стандартної форми квадратного рівняння (просто помінявши місцями члени):

6x + 13x + 6 = 0

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 2

2. Розкладіть на множники, використовуючи один з методів, наведених нижче. Розкладання многочлена на множники - це розбиття його на короткі і прості многочлени, які перемножуються між собою.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
У цьому прикладі двочлен (2x +3) і (3x + 2) є множниками вихідного многочлена 6x + 13x + 6.

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 3

3. Перевірте роботу шляхом перемноження членів і складання однакових (подібних) членів.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(Де 4х і 9х - подібні члени). Таким чином, ми правильно розклали многочлен на множники, так як при їх перемножуванні ми отримали вихідний многочлен.

Метод 2 з 7:

Рішення шляхом проб і помилок

Якщо вам дано досить простий многочлен, ви можете самостійно розкласти його на множники. Наприклад, досвідчені математики можуть відразу визначити, що многочлен 4x + 4x + 1 має множники (2x + 1) і (2x + 1). (Зауважте, цей метод не буде таким простим при розкладанні більш складного многочлена.) Розглянемо приклад:

3x + 2x - 8

1. Запишіть пари множників коефіцієнтів a і c. Використовуючи вираз виду ax + bx + c = 0, визначте коефіцієнти a і c. У нашому прикладі

a = 3 і множники: 1 * 3
c = -8 і множники: 2 * 4, 4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 5

2. Напишіть дві пари дужок з пробілами, замість яких поставите знайдені вільні члени:

(X) (x)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 6

3. перед x поставте пару множників для коефіцієнта a. У нашому прикладі така пара тільки одна:

(3x) (1x)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 7

4. після x поставте пару множників для з. Припустимо, ми візьмемо 8 і 1. отримаємо:

(3x8) (X1)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 8

5. Вирішіть, який знак поставити між x і числами (вільними членами). Залежно від знаків у вихідному рівнянні можна визначити знаки перед вільними членами. Позначимо вільні члени в наших Двочленні-множниках через h і k:

Якщо ax + bx + c, то (x + h) (x + k)
Якщо ax - bx - c або ax + bx - c, то (x - h) (x + k)
Якщо ax - bx + c, то (x - h) (x - k)
У нашому прикладі 3x + 2x - 8, тому (x - h) (x + k) і

(3x + 8) (x - 1)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 9

6. Перевірте результати, перемноживши вираження в дужках. Якщо вже другий член (зі змінною х) неправильний (неважливо, негативний або позитивний), ви вибрали не ту пару множників c.

(3x + 8) (x - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8Такім чином, при перемножуванні множників отримуємо вираз, яке не дорівнює ісходному- це значить, що ми вибрали не ту пару множників.

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 10

7. Поміняйте пару множників c. У нашому прикладі, візьмемо 2 і 4 замість 1 і 8.

(3x + 2) (x - 4)
тепер c = -8. Однак (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10х, тобто тепер b = -10х, а у вихідному рівнянні b = 2x (отримали невірне значення b).

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 11

8. Поміняйте порядок множників. Поміняємо місцями 2 і 4:

(3x + 4) (x - 2)
c такий, яким повинен бути (4 * -2 = -8). -6x + 4x дають нам правильну величину (2х), але неправильний знак перед нею (2х замість +2 х).

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 12

9. поміняйте знаки. Порядок членів в дужках залишаємо колишнім, але міняємо знаки:

(3x - 4) (x + 2)
c такий, яким повинен бути (-8), а

b= 6x - 4x = 2x
2x = 2xщо і було потрібно. Таким чином, ми знайшли правильні множники вихідного рівняння.

Метод 3 з 7:

Рішення шляхом декомпозиції

Використовуючи цей метод, можна визначити всі множники коефіцієнтів a і c і використовувати їх при знаходженні множників даного рівняння. Якщо числа великі або вам набридло вгадувати, скористайтеся цим способом. Розглянемо приклад:

6x + 13x + 6

1. помножте коефіцієнт a (6 в нашому прикладі) на коефіцієнт c (Теж 6 в нашому прикладі).

6 * 6 = 36

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 14

2. Знайдіть коефіцієнт b розкладанням на множники і подальшою перевіркою. Ми шукаємо два числа, які при перемножуванні дадуть результат, рівний результату множення a * c (В нашому прикладі 36), а при додаванні дадуть результат, рівний коефіцієнту b (В нашому прикладі 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 15

3. Підставте два знайдених числа в вихідне рівняння в якості суми (яка дорівнює b). Позначимо знайдені числа через k і h (Порядок не важливий):

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 16

4. Розкладіть многочлен на множники угрупованням членів. Згрупуйте члени вихідного рівняння так, щоб винести найбільші загальні множники з перших двох і останніх двох членів. При цьому вирази в обох дужках повинні бути однаковими. Загальні множники організуйте в вираз і помножте його на однаковий вираз в дужках.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Метод 4 з 7:

потрійний метод

Дуже схожий на метод декомпозиції. Цей метод розглядає можливі множники результату множення a на c і використовує їх для знаходження значення b. Розглянемо приклад: 8x + 10x + 2

1. помножте a (8 в прикладі) на c(2 в прикладі).

8 * 2 = 16

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 18

2. Знайдіть два числа, які при перемножуванні дадуть 16, а результат додавання яких рівний коефіцієнту b (10 в прикладі).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 19

3. Знайдені два числа (позначимо їх через h і k) Підставте в наступне рівняння (формулу «потрійного методу»):

((Ax + h) (ax + k)) / a

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 20

4. З`ясуйте, який вираз в обох дужках повністю ділиться на a. У нашому прикладі таким виразом є (8x + 8). Розділіть це вираз на a, а вираз другий дужки залиште як є.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Розділіть це вираз на 8 (a) І отримаєте (x + 1)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 21

5. Винесіть найбільший спільний дільник (НСД) з будь-якої або з обох дужок (якщо він є). У нашому прикладі НСД вираження з других дужок дорівнює 2 (так як 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Таким чином, отримаємо

2 (x + 1) (4x + 1)

Метод 5 з 7:

різниця квадратів

Деякі коефіцієнти многочленів можуть бути ідентифіковані як «квадрати» (твір двох однакових чисел). Знаходження «квадратів» дозволяє прискорити розкладання многочлена на множники. Розглянемо приклад:

27x - 12 = 0

1. Винесіть за дужки найбільший спільний дільник (якщо він є). У нашому прикладі 27 і 12 діляться на 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 23

2. Визначте, що вихідне рівняння - різниця двох квадратів.Рівняння має мати два члена, з яких можна витягти квадратний корінь.

9x = 3x * 3x і 4 = 2 * 2 (зауважте, що ми відкинули знак мінус)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 24

3. підставте значення a і c в вираз виду:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

У нашому прикладі a = 9 і c = 4, √a = 3 і √c = 2. Таким чином,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Метод 6 з 7:

Формула вирішення квадратного рівняння

Якщо інші методи не працюють і многочлен не розкладається на фактори, скористайтеся формулою рішення квадратного рівняння. Розглянемо приклад:

x + 4x + 1 = 0

1. Підставте відповідні значення в формулу:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Отримаємо вираз:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 26

2. знаходимо x. Ви повинні отримати два значення x. Як показано вище, ми знаходимо два рішення:

x = -2 + √ (3) або x = -2 - √ (3)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 27

3. Підставте знайдені значення x замість h і k в вираз виду:

(X - h) (x - k)

(X - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Метод 7 з 7:

калькулятор

Якщо ви можете користуватися графічним калькулятором, то це значно спростить процес розкладання многочленів на множники. Наступна процедура описується для графічного калькулятора TI. Розглянемо приклад:

y = x - x - 2

1. Введіть ваше рівняння в [Y =].

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 29

2. Натисніть [GRAPH], щоб побудувати графік рівняння. Ви побачите плавну криву (в нашому випадку параболу, так як це квадратне рівняння).

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 30

3. Знайдіть точки перетину параболи з віссю Х. Таким чином ви знайдете значення x.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Якщо не можете визначити координати візуально, натисніть [2nd], а потім [TRACE]. Натисніть [2] або виберіть "нуль". Підведіть курсор до лівого перетину і натисніть [ENTER]. Підведіть курсор до правого перетину і натисніть [ENTER]. Калькулятор сам визначить значення x.

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Step 31

4. підставте значення x замість h і k в вираз виду:

(X - h) (x - k) = 0

(X - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Поради

Якщо у Вас є графічний калькулятор TI-84, то для нього існує програма SOLVER, яка вирішує квадратні рівняння (і взагалі рівняння будь-якого ступеня).
Якщо члена в многочлене немає, то коефіцієнт дорівнює 0. Якщо у вас такий випадок, корисно переписати рівняння у вигляді:

x + 6 = x + 0x + 6
Якщо Ви розклали многочлен за допомогою формули для вирішення квадратного рівняння і отримали відповідь з корінням, перетворіть значення x в дробу для його перевірки.
Якщо при невідомому (змінної) немає коефіцієнта, то він дорівнює 1.

x = 1x
Згодом, ви навчитеся проводити метод проб і помилок в голові. А до тих пір записуйте його.

попередження

Якщо ви вивчаєте розкладання многочленів на заняттях, застосовуйте той метод, який радить викладач, а не той, який вам подобається. Викладач на іспиті може зажадати використовувати будь-який певний спосіб і може заборонити користуватися графічним калькулятором.