Як вирішити магічний квадрат

Магічні квадрати стали популярними поряд з появою математичних ігор, таких як судоку. Магічний квадрат - це таблиця, заповнена цілими числами таким чином, щоб сума чисел по горизонталі, вертикалі і діагоналі була однакова (так звана магічна константа). Ця стаття розповість вам, як побудувати квадрат непарного порядку, квадрат порядку одинарної парності і квадрат порядку подвійний парності.

кроки

Метод 1 з 3:

Квадрат непарного порядку

1. Обчисліть магічну константу. Це можна зробити за допомогою простої математичної формули [n * (n2 + 1)] / 2, де n - кількість рядків або стовпців в квадраті. Наприклад, в квадраті 3x3 n = 3, а його магічна константа:

Магічна константа = [3 * (32 + 1)] / 2
Магічна константа = [3 * (9 + 1)] / 2
Магічна константа = (3 * 10) / 2
Магічна константа = 30/2
Магічна константа квадрата 3х3 дорівнює 15.
Сума чисел в будь-якому рядку, стовпці і подіагоналі повинна дорівнювати магічною константі.

2. Напишіть 1 в центральній клітинці верхнього рядка. Будувати будь-непарний квадрат потрібно саме з цього осередку. Наприклад, в квадраті 3х3 напишіть 1 у другому осередку верхнього рядка, а в квадраті 15х15 напишіть 1 в восьмий осередку верхнього рядка.

3. Наступні числа (2,3,4 і так далі по зростанню) записуйте в осередку за правилом: один рядок - вгору, один стовпець - вправо. Але, наприклад, щоб записати 2, потрібно "вийти" за межі квадрата, тому існують три винятки з цього правила:

Якщо ви вилізли за верхню межу квадрата, напишіть цифру в найнижчій клітинці відповідного стовпця.

Якщо ви вилізли за правий межа квадрата, напишіть цифру в найдальшої (лівої) осередку відповідного рядка.

Якщо ви потрапили на осередок, яка зайнята іншою цифрою, напишіть цифру безпосередньо під попередньої записаної цифрою.

Метод 2 з 3:

Квадрат порядку одинарної парності

1. Існують різні методики для побудови квадратів порядку одинарної парності і подвійний парності.

Число рядків або стовпців в квадраті порядку одинарної парності ділиться на 2, але не на 4.
Найменшим квадратом порядку одинарної парності є квадрат 6х6 (квадрат 2x2 побудувати не можна).

2. Обчисліть магічну константу. Це можна зробити за допомогою простої математичної формули [n * (n2 + 1)] / 2, де n - кількість рядків або стовпців в квадраті. Наприклад, в квадраті 6x6 n = 6, а його магічна константа:

Магічна константа = [6 * (62 + 1)] / 2

Магічна константа = [6 * (36 + 1)] / 2

Магічна константа = (6 * 37) / 2

Магічна константа = 222/2

Магічна константа квадрата 6х6 дорівнює 111.

Сума чисел в будь-якому рядку, стовпці і подіагоналі повинна дорівнювати магічною константі.

3. Розділіть магічний квадрат на чотири квадранта однакового розміру. Позначте квадранти через А (зверху зліва), C (зверху справа), D (знизу ліворуч) і B (знизу справа). Щоб з`ясувати розмір кожного квадранта, розділіть n на 2.

Таким чином, в квадраті 6х6 розмір кожного квадранта дорівнює 3x3.

4. В квадраті А напишіть четверту частину всіх чісел- в квадраті У напишіть наступну четверту частину всіх чісел- в квадраті З напишіть наступну четверту частину всіх чісел- в квадраті D напишіть заключну четверту частину всіх чисел.

У нашому прикладі квадрата 6х6 в квадраті А напишіть числа 1-9- в квадраті В - числа 10-18- в квадраті С - числа 19-27- в квадраті D - числа 28-36.

5. Числа в кожному квадраті записуйте так, як ви будували непарний квадрат. У нашому прикладі квадрант А почніть заповнювати числами з 1, а квадранти С, B, D - з 10, 19, 28, відповідно.

Число, з якого ви починаєте заповнення кожного квадранта, завжди пишіть в центральній клітинці верхнього рядка певного квадранта.

Заповнюйте кожен квадрант числами так, як ніби це окремий магічний квадрат. Якщо при заповненні квадранта доступна порожня клітинка з іншого квадранта, ігноруйте цей факт і користуйтеся винятками з правила заповнення непарних квадратів.

6. Виділіть певні числа в квадрантах А і D. На даному етапі сума чисел у стовпчиках, рядках і по діагоналі не дорівнюватиме магічною константі. Тому ви повинні поміняти місцями числа в певних осередках верхнього лівого і нижнього лівого квадрантів.

Починаючи з першого осередку верхнього рядка квадранта А, виділіть кількість осередків, рівне медіані кількості осередків у всій рядку. Таким чином, в квадраті 6x6 виділіть тільки перший осередок верхнього рядка квадранта А (в цьому осередку написано число 8) - в квадраті 10х10 вам потрібно виділити перші два осередки верхнього рядка квадранта А (в цих осередках написані числа 17 і 24).

Утворіть проміжний квадрат з виділених осередків. Так як в квадраті 6х6 ви виділили тільки одну клітинку, то проміжний квадрат буде складатися з одного осередку. Назвемо цей проміжний квадрат як A-1.

В квадраті 10х10 ви виділили два осередки верхнього рядка, тому необхідно виділити дві перші осередки другого рядка, щоб утворити проміжний квадрат 2х2, що складається з чотирьох осередків.

У наступному рядку пропустіть число в першій клітинці, а потім виділіть стільки чисел, скільки ви виділили в проміжному квадраті A-1. Отриманий проміжний квадрат назвемо A-2.

Отримання проміжного квадрата А-3 аналогічно отриманню проміжного квадрата A-1.

Проміжні квадрати А-1, А-2, А-3 утворюють виділену область А.

Повторіть описаний процес в квадраті D: створіть проміжні квадрати, які утворюють виділену область D.

7. Поміняйте місцями числа з виділених областей А і D (числа з першого рядка квадранта А з числами з першого рядка квадранта D і так далі). Тепер сума чисел у будь-якому рядку, стовпці і по діагоналі повинна бути дорівнює магічною константі.

Метод 3 з 3:

Квадрат порядку подвійний парності

1. Число рядків або стовпців в квадраті порядку подвійний парності ділиться на 4.

Найменшим квадратом порядку подвійний парності є квадрат 4х4.

2. Обчисліть магічну константу. Це можна зробити за допомогою простої математичної формули [n * (n2 + 1)] / 2, де n - кількість рядків або стовпців в квадраті. Наприклад, в квадраті 4x4 n = 4, а його магічна константа:

Магічна константа = [4 * (42 + 1)] / 2

Магічна константа = [4 * (16 + 1)] / 2

Магічна константа = (4 * 17) / 2

Магічна константа = 68/2

Магічна константа квадрата 4х4 дорівнює 34.

Сума чисел в будь-якому рядку, стовпці і по діагоналі повинна бути дорівнює магічною константі.

3. Створіть проміжні квадрати А-D. У кожному кутку магічного квадрата виділіть проміжний квадрат розміром n / 4, де n - кількість рядків або стовпців в магічному квадраті. Позначте проміжні квадрати як A, B, C, D (в напрямку проти годинникової стрілки).

В квадраті 4x4 проміжні квадрати будуть складатися з кутових комірок (по одній в кожному проміжному квадраті).

В квадраті 8х8 проміжні квадрати будуть мати розмір 2x2.

В квадраті 12х12 проміжні квадрати будуть мати розмір 3x3 (і так далі).

4. Створіть центральний проміжний квадрат. У центрі магічного квадрата виділіть проміжний квадрат розміром n / 2, де n - кількість рядків або стовпців в магічному квадраті. Центральний проміжний квадрат не повинен перетинатися з кутовими проміжними квадратами, але повинен стосуватися їх кутів.

В квадраті 4x4 центральний проміжний квадрат має розмір 2x2.

В квадраті 8x8 центральний проміжний квадрат має розмір 4x4 (і так далі).

5. Почніть будувати магічний квадрат (зліва направо), але числа записуйте тільки в комірки, розташовані в виділених проміжних квадратах. Наприклад, квадрат 4x4 ви заповніть так:

Напишіть 1 в першому рядку першому столбце- напишіть 4 в першому рядку четвертому стовпці.

Напишіть 6 і 7 в центрі другого рядка.

Напишіть 10 і 11 в центрі третього рядка.

Напишіть 13 в четвертому рядку першого столбца- напишіть 16 в четвертому рядку четвертого стовпця.

6. Решта осередки квадрата заповнюються аналогічним чином (зліва направо), але числа потрібно записувати в порядку убування і тільки в осередку, розташовані поза виділених проміжних квадратів. Наприклад, квадрат 4x4 ви заповніть так:

Напишіть 15 і 14 в центрі першого рядка.

Напишіть 12 у другому рядку першого столбца- напишіть 9 у другому рядку четвертого стовпця.

Напишіть 8 в третьому рядку першого столбца- напишіть 5 в третьому рядку четвертого стовпця.

Напишіть 3 і 2 в центрі четвертого рядка.

Тепер сума чисел у будь-якому рядку, стовпці і по діагоналі повинна бути дорівнює магічною константі.