Як обчислити площу квадрата по довжині діагоналі

Найбільш поширеною формулою для обчислення площі квадрата є наступна: S = a. Але іноді в завданні дана тільки діагональ квадрата, тобто відрізок, що з`єднує протилежні вершини. Якщо ви знайомі з прямокутними трикутниками, для обчислення площі квадрата можна скористатися формулою, яка включає діагональ.

кроки

Частина 1 з 2:

Обчислення площі по діагоналі

1. намалюйте квадрат. У квадрата чотири рівні сторони. Припустимо, що довжина кожної сторони дорівнює а.

Зображення з назвою Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 4

2. Подивіться на основну формулу для обчислення площі квадрата. Площа квадрата дорівнює добутку довжини на ширину. Так як кожна сторона квадрата дорівнює а, формула для обчислення площі квадрата: S = а х а = а. Ця формула знадобиться далі.

Зображення з назвою Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 5

3. З`єднайте два протилежних кута квадрата, щоб провести діагональ. Припустимо, що довжина діагоналі дорівнює d. Діагональ ділить квадрат на два прямокутних трикутника.

Зображення з назвою Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 6

4. До одного з трикутників застосуєте теорему Піфагора. По теоремі Піфагора можна знайти гіпотенузу (найдовшу сторону) прямокутного трикутника:

a 2 + b^{2} = c^{2}

$a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ , де а і b - катети, с - гіпотенуза. Розділивши квадрат на два прямокутних трикутника, застосуєте цю формулу до одного з них.

Катетами прямокутного трикутника є сторони квадрата, кожна з яких дорівнює а.

Гіпотенузою є діагональ квадрата, рівна d.

a 2 + a^{2} = d^{2}

$a ^ {2} + a ^ {2} = d ^ {2}$

Зображення з назвою Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 7

5. Ізолюйте а на одній стороні формули. Пам`ятайте, що згідно з основною формулою для обчислення площі квадрата, вона дорівнює а. Якщо ізолювати а на одній стороні формули, можна вивести нову формулу для обчислення площі квадрата.

a 2 + a^{2} = d^{2}

$a ^ {2} + a ^ {2} = d ^ {2}$

Спростіть:

2 а 2 = д^{2}

$2a ^ {2} = d ^ {2}$

Розділіть обидві сторони на 2:

а 2 = д 22

$a ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}$

S =

a 2 = d 22

$a ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}$

S =

d 22

${ Frac {d ^ {2}} {2}}$

Зображення з назвою Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 9

6. Скористайтеся цією формулою для розв`язання задачі. Отриману формулу S =

d 22

${ Frac {d ^ {2}} {2}}$ можна застосовувати до будь-яких квадратах: просто підставте в неї значення діагоналі (замість d).

Наприклад, діагональ квадрата дорівнює 10 см.

S =

1022

${ Frac {10 ^ {2}} {2}}$
=

\frac{100}{2}

= 50 см.

Частина 2 з 2:

додаткова інформація

1. Знайдіть діагональ по стороні. Якщо сторона квадрата дорівнює а, а діагональ дорівнює d, теорема Піфагора запишеться так:

2 a 2 = d^{2}

$2a ^ {2} = d ^ {2}$ . За цією формулою можна обчислити діагональ, якщо сторона квадрата відома.

$2 а 2 = d^{2}$ $2a ^ {2} = d ^ {2}$
$\sqrt{2 a} 2 = \sqrt{d} 2$ ${ Sqrt {2a ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}$
$a \sqrt{2} = d$
Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює 7 см, його діагональ дорівнює d = 7√2 ≈ 9,9 см.
Якщо калькулятора немає, √2 ≈ 1,4.

2. Знайдіть сторону по діагоналі. Якщо діагональ відома, а формула для обчислення діагоналі

d = a \sqrt{2}

, розділіть обидві сторони формули на

\sqrt{2}

і отримаєте

a = \frac{d}{\sqrt{2}}

$a = { frac {d} {{ sqrt {2}}}}$

Наприклад, якщо діагональ квадрата дорівнює 10 см, то сторона

a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 7, 071

$a = { frac {10} {{ sqrt {2}}}} = 7,071$ см.

Якщо потрібно знайти і сторону, і площа по діагоналі, скористайтеся цією формулою, щоб обчислити сторону, а потім результат зведіть в квадрат, щоб обчислити площу: S =

= a 2 = 7, 071^{2} = 50

$= A ^ {2} = 7,071 ^ {2} = 50$ см. Такий метод не зовсім точний, тому що

\sqrt{2}

є ірраціональним числом, тобто можуть мати місце помилки округлення.

3. Перевірте правильність формули. Вірність математичного виведення формули S =

d 22

${ Frac {d ^ {2}} {2}}$ не викликає сумнівів, але чи можна перевірити правильність формули наочно? Припустимо, що сторона другого квадрата дорівнює d, тобто діагоналі першого квадрата- тоді площа другого квадрата дорівнює

d 2

$d ^ {2}$ .Так як формула для обчислення площі S =

d 22

${ Frac {d ^ {2}} {2}}$ , можна зробити висновок, що площа другого квадрата в два рази більше площі першого квадрата. Перевірте це наочно:

На папері намалюйте перший квадрат. Переконайтеся, що всі сторони рівні.

Виміряйте діагональ. Намалюйте другий квадрат: кожна його сторона повинна дорівнювати діагоналі першого квадрата.

Намалюйте копію першого квадрата, а затемвирежьте три квадрата.

Розріжте два менших квадрата так, щоб вони помістилися в більшому квадраті. Два менших квадрата повинні повністю покрити більший квадрат, що доводить, що площа більшого квадрата в два рази більше площі меншого квадрата.

Поради

Якщо калькулятора немає, але необхідно отримати точне значення √2, витягніть корінь вручну. Наприклад, застосуєте метод Ньютона-Рафсона.
Наведена формула використовується в багатьох областях, в тому числі в кристалографії, хімії і техніці. Наприклад, за допомогою цієї формули можна обчислити площу ландшафту, який видно на власні очі або на фотографії / малюнку. Для цього виміряйте пройдений шлях, а потім проведіть уявну діагональ.
Якщо ви віддаєте перевагу вивчати математику з наочними прикладами або хочете дізнатися, як використовувати діаграми і графіки в мистецтві, читайте статті на сайті wikiHow (наприклад, в категоріях «Математика», «Графічні програми», «Офісні програми» та інших).