Як визначити, чи сходиться нескінченний ряд: 4 кроків

Нескінченні числові ряди нерідко бентежать і відлякують, оскільки їх досить важко уявити собі подумки. З першого погляду складно сказати, сходиться ряд або ні-кілька століть назад відповідь на таке питання зайняв би багато годин. Однак у наш час, завдяки зусиллям багатьох видатних математиків, ми володіємо набором нескладних прийомів, легко дозволяють вирішити задачу. Ці прийоми призначені для отримання відповіді на питання, сходиться ряд чи ні, а не для знаходження його суми. Для їх розуміння ви повинні також володіти основами обчислень.

кроки

1. Проведіть попередню перевірку. Є проста теорема, в якій мовиться, що якщо нескінченна сума функції f сходиться, то межа функції f дорівнює 0. Таким чином, якщо ми маємо функцію x ^ 2, то у неї немає меж, і її сума до нескінченності расходітся- з іншого боку, межа функції 1 / x дорівнює 0, так що її сума може сходитися. Якщо межа не дорівнює нулю, ми знаємо, що ряд розходиться. УВАГА: зворотне не вірно, тобто те, що межа дорівнює нулю, зовсім не означає, що ряд обов`язково сходиться. У цьому випадку необхідна подальша перевірка.

Determine Whether an Infinite Series Converges Step 2

2. геометричні ряди. Для цих рядів існує дуже просте правило, так що перш за все визначте, чи не є ваш ряд геометричним. Геометричний ряд - це послідовність чисел, кожен член якої можна представити у вигляді r ^ k, де k - змінна, а r - число, яке лежить в інтервалі між -1 і 1. Геометричні ряди завжди сходяться. Більш того, ви легко можете визначити суму такого ряду, яка дорівнює 1 / (1-r).

3. Узагальнені гармонійні ряди, або ряди Діріхле. Таким поруч називається сума функцій виду 1 / (x ^ p), де x - будь-яке число. Теорема для цих рядів свідчить, що якщо p більше одиниці, ряд сходиться, якщо ж p менше або дорівнює одиниці, ряд розходиться. Це означає, що згаданий вище ряд 1 / x розходиться, так як його можна представити у вигляді 1 / (x ^ 1), де p = 1. Цей ряд називається гармонійним. Ряд 1 / (X ^ 2) сходиться, оскільки 2 більше 1.

4. інші ряди. Якщо ряд не належить одному з типів, зазначених вище, застосуєте до нього методи, наведені нижче. Якщо не допоміг один метод, застосуєте наступний, оскільки не завжди ясно, який з них слід вибрати. Хоча і не існує однозначних правил, з часом ви зможете краще орієнтуватися у виборі потрібного методу.

метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a (n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b (n) сходиться, і a (n) менше ніж b (n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a (n) також сходітся- 2) якщо b (n) розходиться, і a (n)> b (n), тоді a (n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x- ми можемо порівняти його з рядом 1 / x. Оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2 / x> 1 / x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд. Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet1

Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet1

Метод порівняння меж. Якщо a (n) і b (n) є рядами позитивних чисел, і якщо існує межа a (n) / b (n), який більше 0, тоді обидва ряди або сходяться, або розходяться. В цьому випадку досліджуваний ряд також порівнюється з ізвестним- метод полягає в тому, щоб підібрати відомий ряд, максимальний ступінь якого відповідає ступеню досліджуваного ряду. Наприклад, якщо ви розглядаєте ряд 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), має сенс порівняти його з рядом 1 / (x ^ 3). Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet2

Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet2

Перевірка інтегралом. Якщо функція більше нуля, неперервна і зменшується при значеннях x більше або рівних 1, тоді нескінченний ряд f (n) сходиться, якщо певний інтеграл від 1 до нескінченності від функції f (x) існує і має кінцеве значення-в іншому випадку ряд розходиться. Таким чином, досить проінтегрувати функцію і знайти межа при x, що прагне до нескінченності: якщо межа кінцевий, ряд сходиться, якщо ж межа дорівнює нескінченності, ряд розходиться. Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet3

Determine Whether an Infinite Series Converges Step 4Bullet3

знакозмінні ряди. Якщо a (k)> a (k + 1)> 0 при досить великих k, і межа a (n) дорівнює 0, тоді знакозмінний ряд (-1) ^ n a (n) сходиться. Простіше кажучи, припустимо, що ваш ряд є знакозмінним (тобто його члени поперемінно позитивні і негативні) - в цьому випадку відкиньте знакозмінними частина функції і знайдіть межа того, що залишилося - якщо межа кінцевий, ряд сходиться.

метод відносини. Якщо дано нескінченний ряд a (n), знайдіть наступний член ряду a (n + 1). Потім обчисліть відношення наступного члена до попереднього a (n + 1) / a (n), в разі необхідності взявши його абсолютне значення. Знайдіть межа цього відношення при n прагне до бесконечності- якщо ця межа існує і кінцевий, це означає наступне: 1) якщо межа менше одиниці, ряд сходітся- 2) якщо межа більше одиниці, ряд расходітся- 3) якщо межа дорівнює одиниці, даний спосіб недостатній (ряд може як сходитися, так і розходитися).

Це основні методи визначення збіжності рядів, і вони надзвичайно корисні. Якщо жоден з них не допоміг, цілком ймовірно, що завдання не має рішення, або ж ви десь допустили помилку. Ці способи можуть бути використані і для інших рядів, таких як статечні ряди, ряди Тейлора і т.д. Володіння даними методами складно переоцінити, оскільки інших простих способів визначити збіжність ряду не існує.

Поради

Завжди знаходите межа і перевіряйте, чи не відноситься ваш ряд до геометричних або узагальненим гармонійним рядах, перш ніж використовувати метод порівняння. Це дозволить вам зберегти багато часу і сил.

попередження

Не намагайтеся вирішити будь-яке завдання за допомогою калькулятора.